Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий? Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1 , А2 , ..., Аn , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий
Р (A) = 1 — q1q2 ... qn.(*)
Доказательство
Ч а с т н ы й с л у ч а й. Если события А1 , А2 , ..., Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий
P (A) = l — qn. (**)
Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.
Р е ш е н и е. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A1 (попадание первого орудия), А2 (попадание второго орудия) и A3 (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям A1, А2 и А3 (т. е. вероятности промахов), соответственно равны:
q1 = l — p1 = l — 0,8 = 0,2; q2 = l — p2 = l — 0,7 = 0,3;
q3 = 1 — p3 = 1 — 0,9 = 0,l.
Искомая вероятность
P (A) = 1 — q1q2q3 = 1 — 0,2 * 0,3 * 0,1 = 0,994.
