Уравнение – это равенство, содержащее переменную, обозначенную буквой.
Корень уравнения (или решение уравнения) – это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.
Уравнение может иметь и два, три, четыре и более корней.
Уравнение может вовсе не иметь корней.
Равенство с переменной f(x)=g(x) равенство функций называется уравнением с одной переменной Х. Всякое значение переменной, при котором выражения функция f(x) и функция g(x) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения. Решить уравнение - это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни либо если оба уравнения не имеют корней.
Целое уравнение с одной переменной – это уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями.
Уравнение с одной переменной может быть записано в виде P(x) = 0, где P(x) – многочлен стандартного вида.
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Если уравнения не имеют решений на данном числовом множестве, то они также считаются равносильными на этом множестве.
В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.
Теоремы о равносильности уравнений
- Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному: или ;
- Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному: ;
- Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному: ;
- Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях переменной, то получится уравнение, равносильное данному: , ;
- Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же выражение , имеющее смысл для любого x из области определения, то получится уравнение, равносильное данному: если ; , если .
