Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства). С логической точки зрения теорема представляет собой высказывания вида А=>В. Такие теоремы состоят из частей:
1.Описание множества х, к элементам которого относится теорема.
2.Условие теоремы А(х)
3.Заключение теоремы (предикат Р(х))
Если дана теорема А(х)=>В(х), то по отношению к ней могут быть сформулированы:
1.Обратная В(х)=>А(х)
2.Противоположная Ᾱ(х)=>B(х)
3.Обратная противоположной B(х)=>A(х)
Существует 2 основных метода доказательства теорем:
1.Прямой метод
2.Метод от противного
Доказать какое-либо утверждение – значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.
Основой математического доказательства является дедуктивный вывод. Само доказательство – это цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из следующих умозаключений:
1.Прямое доказательство: основываясь на некотором истинном предложении с учетом условия теоремы строилась цепочка дедуктивных умозаключений, которая приводит к истинному заключению.
2.Сущность «метода от противного» состоит в том, что заключение теоремы ложно, а, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив предложение к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых находится и другое условие). Строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок и, в частности, условию А. Как только такое противоречие устанавливают, процесс доказательства заканчивают и говорят, что полученное противоречие доказывает истинность теоремы
