http://math.semestr.ru/math/derivatives.php
Алгоритм исследования функции двух переменных на экстремум
Функция z = f(x,y) имеет максимум в точке M0(x0;y0), если f(x0;y0) > f(x;y) для всех точек (x;y), достаточно близких к точке (x0;y0) и отличных от неё. Функция z = f(x,y) имеет минимум в точке M0(x0;y0), если f(x0;y0) < f(x;y) для всех точек (x;y), достаточно близких к точке (x0;y0) и отличных от неё. Максимум и минимум функции называютсяэкстремумами функции.
Исследование функции двух переменных на экстремум проводят по следующей схеме.
1. Находят частные производные dz/dx и dz/dy.
2. Решают систему уравнений:
и таким образом находят критические точки функции.
3. Находят частные производные второго порядка:
4. Вычисляют значения этих частных производных второго порядка в каждой из найденных в п.2 критических точках M(x0;y0).
5. Делаю вывод о наличии экстремумов:
а) если AC – B2 > 0 и A < 0 , то в точке M имеется максимум;
б) если AC – B2 > 0 и A > 0 , то в точке M имеется минимум;
в) если AC – B2 < 0, то экстремума нет;
г) если AC – B2 = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым;
примеры
Тогда:
1. если Δ > 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) имеет экстремум: максимум, если А < 0; минимум, если А > 0;
2. если Δ < 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.
В случае Δ = 0 экстремум в точке (х0;у0) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.
Примем без доказательства.
Пример 46.1. Найти экстремум функции z = 3х2у- х3 - у4.
Решение: Здесь z'x=бху-3х2, z'y=3х2-4у3. Точки, в которых частные производные не существуют, отсутствуют.
Найдем стационарные точки, решая систему уравнений:
Отсюда получаем точки M1(6;3) и М2(0;0).
Находим частные производные второго порядка данной функции: z''xх=6у-6х, z''xу=6х, z''уy=-12у2.
В точке М1(6;3) имеем: А = -18, В = 36, С = -108, отсюда
АС-В2=-18•(-108)-362=648, т. е. Δ>0.
Так как А<0, то в точке М1 функция имеет локальный максимум: zmax=z(6;3)=3•36•3-63-34=324-216-81=27.
В точке М2(0;0): А =0, В = 0, С = 0 и, значит, Δ = 0. Проведем дополнительное исследование. Значение функции z в точке М2равно нулю: z(0;0)=0. Можно заметить, что z=-у4<0 при х=0, у ≠ 0; z =-х3>0 при х<0, у=0. Значит, в окрестности точки М2(0;0) функция z принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, в точке М2 функция экстремума не имеет.
46.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
Пусть функция z=ƒ(х;у) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего М и наименьшего т значений (т. н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D , или в точках, лежащих на границе области.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = ƒ(х;у) состоит в следующем:
1. Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в них;
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = ƒ(х;у) на границах области;
3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее т.
П
ример 46.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=х2у + ху2 + ху в замкнутой области, ограниченной линиями: у = 1/x, х = 1, х = 2, у = -1,5 (см. рис. 212).
Решение: Здесь z'x=2ху+у2+у, z'y=х2+2ху+х.
- Находим все критические точки:
Решением системы являются точки (0;0), (-1;0), (0; -1),(-1/3;-1/3). Ни одна из найденных точек не принадлежит области D .
- Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, СЕ и ЕА (рис. 212).
На участке АВ:
Значения функции z(-1) = -1,
На участке ВС:
Значения функции z(1) = 3, z(2) = 3,5.
На участке СЕ:
z'y=4у+6, 4у+6=0, у=-3/2.
Значения функции
На участке АЕ:
Значения функции z(1) = -3/4,z(2) = -4,5. - Сравнивая полученные результаты, имеем: М = +3,5 = z(2;1/2) =z(С); а m=-4,5=z(2;-3/2)=z(E).
