СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
9.1. Основные понятия
~ Под систе,м,оu 7\:оординат на плоскости понимают способ, по
зволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной
из таких систем является nря,м,оуго.ltЬНа.я (aer;;apmoBa) систе,м,а 7\:0-
ординат.
у
у
j
о i Х
Рис. 23
х
Прямоугольная система координат за
дается двумя взаимно перпендикулярными
прямыми - осями, на каждой из которых
выбрано положительное направление и за
дан единичный (масштабный) отрезок.
Единицу масштаба обычно берут одинако
вой для обеих осей. Эти оси называют ося
.м:и "оорди'Нат, точку их пересечения О -
'На-чnло.м: "оорди'Нат. Одну из осей называ
ют осью абс'U,uсс (осью Ох), другую ~ осью
орди'Нат (осью Оу) (рис. 23).
На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и на
правленной слева направо, а ось ординат - вертикально и направлен
ной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области -
-четвертu (или "вадра'Нт'Ы).
Единичные векторы осей обозначают 2 и J (121 = IJI = 1,2 .L)).
Систему координат обозначают Оху (или 02)), а плоскость, в ко
торой расположена система координат, называют "оорди'Нат'Но11 n.лос
r;;остью.
Рассмотрим произвольную точку М плоскости Оху. Вектор О М
называется paauycom-веr;;mором точки М.
~ Координата,м,и тО-Ч7\:и М в системе координат Оху (Oi)) на
зываются координаты радиуса-вектора ОМ. Если ОМ = (х; у), то
координаты точки М записывают так: М(х; у), число х называется а6-
сциссоu точки М, у - ординатои точки М.
Эти два числа х и у полностью определяют положение точки на
плоскости, а именно: каждой паре чисел х и у соответствует единствен
ная точка М плоскости, и наоборот.
58
Другой практически важной системой координат является поляр
ная система ","оорди'Наm. Полярная система координат задается точкой
, называемой nол.1рСОМ, лучом Ор, называемым полярной осью, и еди
ничным вектором ё того же направления, что и луч Ор.
Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение
точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О
и углом <р, образованным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов
ведется в направлении , противоположном движению часовой стрелки)
(см. рис . 24). у
~A1(T ~)
О е р
х
р
Рис. 24 Рис . 25
Числа r и <р называются nолярн'Ы.м.и JCoopdUHamaMtL точки М,
пишут М(т; <р), при этом r называют nолярни.м. радиусо.м., <р -
nолярн'ЫМ угл.ом.
Для получения всех точек плоскости достаточно полярный угол
<р ограничить промежутком (-п; п] (или О ~ <р < 2п), а полярный
радиус - [О; 00). В этом случае каждой точке плоскости (кроме О)
соответствует единственная пара чисел r и <р, и обратно.
Установим связь между прямоугольными и полярными координа
тами . Для этого совместим полюс О с началом координат системы Оху,
а полярную ось - с положительной полуосью Ох. Пусть х и у - пря
моугольные координаты точки М, а r и <р - ее полярные координаты.
Из рисунка 25 видно , что прямоугольные координаты точки М
выражаются через полярные координаты точки следующим образом:
Х = · c.os<p,
у=r·sш<р.
Полярные же координ ты точки М выражаются через ее декарто-
вы координаты (тот же рисунок) такими формулами:
Т = Jx 2 + у2,
tg <р = 11...
х
Определяя величину <р, следует установить (по знакам х и у) че
тверть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что -п < <р ~ .
59
Прu.мер 9.1. Дана точка М(-l; -vз). Найти полярные коорди
наты точки М.
а Решение: Находим r и <р:
r = JЗ+Т = 2, -Vз гn tg<p = -- = vЗ. -1
Отсюда <р = J + 7Гn, n Е z. Но так как точка М лежит в З-йчетверти,
то n = -1 и <р = J - 7г = - 2;. Итак, полярные координаты точки М
есть r = 2, <р = -2;, т. е. М(2; -~7Г). •
