Комплексные сопротивление и проводимость пассивного участка цепи.

КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ И ПРОВОДИМОСТИ ИДЕАЛИЗИРОВАННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (R, L, C)

Для определения комплексных параметров можно воспользоваться методом комплексных амплитуд. Заменим мгновенные значения гармонических напряжений и токов их комплексными изображениями

$u(t)\doteq \underline{u(t)}=\dot{U_{m}}e^{\jmath wt}$ . $i(t)\doteq \underline{i(t)}=\dot{I_{m}}e^{\jmath wt}$ (2.25)

Запишем выражения, связывающие между собой напряжения и токи в сопротивлении R (1.6), в индуктивности L (1.8) и в емкости C (1.11), для мгновенных комплексных значений (2.25).

Резистивный элемент R

$\dot{U_{m}}e^{\jmath wt}=R\dot{I_{m}}e^{\jmath wt}$ или $\dot{U_{m}}=R\dot{I_{m}}$ По этому выражению можно найти комплексные сопротивление Z_R(jω) и проводимость Y_R(jω) резистивного элемента

$\underline{Z_{R}}=\frac{\dot{U_{m}}}{\dot{I_{m}}}=R=r$ $\underline{Y_{R}}=\frac{1}{\underline{Z_{R}}}=\frac{1}{R}=G=g$ (2.26)

Сравнивая выражения (2.26) с (2.13), (2.14), (2.22), устанавливаем, что комплексные сопротивление и проводимость являются чисто резистивными (x = b = 0) (рис. 2.7, в, г), а модули равны параметрам R и G резистивного элемента (рис. 2.7, а). Следовательно, фазовый сдвиг φ_Z = φ_U – φ_I = – φ_Y = 0 равен нулю, т.е. напряжение и ток в сопротивлении совпадают по фазе (рис. 2.7, б).

Комплексная схема замещения резистивного элемента (рис. 2.7, а) имеет такой же вид, как и схема замещения этого элемента для мгновенных значений (см. рис. 1.7) и отличается от последней комплексными изображениями Ů_R и İ_R.

Индуктивный элемент L

Подставим комплексные изображения (2.25) в выражение (1.8).

$\dot{U_{mL}}e^{\jmath wt}=L\frac{\partial \dot{I_{mL}e^{\jmath wt}}}{\partial t}=\jmath wL\dot{I_{mL}}e^{\jmath wt}$ .

После преобразования получим соотношение, связывающее между собой комплексные амплитуды напряжения и тока в индуктивности: $\dot{U_{m}}=\jmath wL\dot{I_{mL}}e^{\jmath wt}$ Оно позволяет получить выражения комплексных сопротивления Z_L(jω) и проводимости Y_L(jω) индуктивности:

$Z_{L}(\jmath w)=\frac{\dot{U_{mL}}}{\dot{I_{mL}}}=\jmath wL=\jmath x_{L}$ $Y_{L}(\jmath w)=\frac{1}{Z_{L}(\jmath w)}=\frac{1}{\jmath wL}=\jmath \frac{-1}{wL}=\jmath *b_{l}$ (2.27)

Сравнивая (2.27) с показательной (2.13), алгебраической (2.14), (2.22) формами записи комплексных сопротивления и проводимости можно сделать вывод о характере комплексного сопротивления и проводимости индуктивности:

1. Комплексные сопротивление и проводимость индуктивности чисто реактивные и зависят от частоты (прямо пропорционально и обратно пропорционально соответственно)

Z_L(jω) =jωL, Y_L(jω) = – 1/ωL; (2.28)

2. Резистивные составляющие равны нулю:

r_L = g_l = 0;

3. Разность фаз между напряжением и током равна π/2, т.е. напряжение на индуктивности опережает ток на 90⁰:

φ_ZL = φ_U - φ_I = π/2 = – φ_YL (рис. 2.8, в, г)

Емкостной элемент C

Если подставить комплексные изображения (2.22) в выражение (1.11) и произвести преобразования, как и для индуктивности, то получатся выражения комплексных сопротивления Z_C(jω) и проводимости Y_C(jω) емкости.

(2.29) $Z_{c}(\jmath w)=\dot{U_{mC}}/\dot{I_{mC}}=\frac{1}{\jmath wC}=\jmath x_{c}$ $Y_{c}(\jmath w)=\frac{1}{Z_{C}}=\jmath wC=\jmath b_{C}$

Сравнивая (2.29) с показательной (2.13), алгебраической (2.14), (2.22) формами записи комплексных сопротивления и проводимости можно сделать вывод о характере комплексного сопротивления и проводимости емкости.

1. Комплексные сопротивление и проводимость емкости чисто реактивные и зависят от частоты (обратно пропорционально и прямо пропорционально соответственно)

Z_L(jω) =jωL, Y_L(jω) = – 1/ωL; (2.30

2. Резистивные составляющие равны нулю: r_C = g_C = 0 (рис. 2.9, в, г);

3. Разность фаз между напряжением и током равна – π/2, т.е. напряжение на емкости отстает от тока на 90⁰: φ_ZL = φ_U - φ_I = – π/2 = – φ_YL (рис. 2.9, в, г).