Метод комплексных амплитуд (пример).
Суть метода состоит в том, что исходной гармонической функции, называемой оригиналом, ставится в соответствие комплексная функция, называемой изображением. Все операции при решении задач проводят над изображениями, которые оказываются более простыми, т.к. система ДУ преобразуется в систему алгебраических уравнений, в которых переменными являются комплексные амплитуды напряжений или токов.
После решения системы уравнений производят обратное преобразование: от искомой комплексной переменной (изображения) переходят к искомой функции времени (оригиналу).
В основе преобразования гармонической функции времени в комплексное число лежит формула Эйлера , (2.4)
где – мнимая единица.
Умножим формулу (2.4) на амплитуду гармонической функции, например, напряжения Um, а аргумент α в формуле (2.4) приравняем к полной фазе гармонического напряжения (2.1) α = θ(t) = (ωt + φ0). Тогда получится комплексная функция, которую принято называть мгновенным комплексным значением гармонической функции напряжения и обозначать подчеркиванием знака функции – u(t):
(2.5)
Функция (2.5) является изображением функции (2.1) – оригинала. Связь между оригиналом и изображением формально записывается так
u(t) ÷ u(t) (2.6)
Аналогично можно записать оригинал и изображение мгновенного значения тока
. (2.7)
Выражения комплексных напряжения(2.5) и тока (2.7) записаны в двух формах – показательной и тригонометрической.
Мгновенное значение напряжения является реальной частью мгновенного комплексного значения, т.е.
u(t)=Re [u(t)] = Umcos(ωt + φu) = au, (2.8)
где Re – сокращенное обозначение слова Realis (действительный, вещественный). Если мгновенное значение напряжения задается в форме синусоиды, например u(t) = Umsin(ωt + φu), то это значение является мнимой частью комплексной функции и обозначается так:
u(t) = Im [u(t)] = Umsin(ωt + φu) = bu, (2.9)
где Im = сокращенное обозначение слова Imaginarins (мнимый).
Следовательно, мгновенное комплексное значение напряжение можно записать в алгебраической форме
u(t) = au + jbu.