Кроме десятичной существует неизмеримое количество других систем, при этом некоторые из них используются для представления и обработки информации в компьютере. Существуют два вида систем счисления: позиционные и непозиционные.
Непозиционными системами называются такие, у которых каждая цифра сохраняет свое значение независимо от места нахождения в числе. Примером может служить римская система счисления, в которой используются такие цифры как I, V, X, L, C, D, M и т.д.
Позиционными называются системы счисления, в которых значение каждой цифры зависит от её места положения. Позиционная система характеризуется основой исчисления, под которой будет пониматься такое число £, которое показывает, сколько единиц какого-либо разряда необходимо для получения единица старшего порядка.
Например, можно записать
.
Что соответствует числам в десятичной системе счисления
,
Индекс снизу указывает на основу счисления.
Для перевода положительных чисел, из одной системы счисления в другую известны два правила:
- перевод чисел из системы , в систему с использованием арифметики системы ;
- перевод чисел из системы , в систему с использованием арифметики системы ;
Рассмотрим первое правило. Допустим, число в десятичной системе необходимо представить в двоичной системе . Для этого данное число делится на основание системы представленное в системе , т.е. на 210. Остаток от деления будет младшим разрядом двоичного числа. Целая часть результата от деления вновь делится на 2. Операцию деления повторять столько раз, пока частное не будет меньше двух.
Двоичные числа 1000 и 1001 согласно таблице 2.1 соответственно равны 8 и 9. Поэтому 10110012 → 8910
Иногда обратный перевод удобнее осуществлять, пользуясь общим правилом представления числа в какой-либо системе исчисления.
Рассмотрим второе правило. Перевод чисел из системы , в систему с использованием арифметики системы . Для осуществления перевода необходимо каждую цифру числа в системе умножить на основание системы счисления представленной в системе счисления и в степени позиции этого числа. После чего полученные произведения суммируются.
Арифметические и логические операции
Арифметические операции
Рассмотрим арифметику двоичной системы счисления, так как именно она используется в современных компьютерах по следующим причинам:
- существуют простейшие физические элементы, которые имеют только два состояния и которые можно интерпретировать как 0 и 1;
- арифметическая обработка очень проста.
Числа в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления обычно используется как средство замены длинного и поэтому неудобного представления двоичных чисел.
Операции с плавающей точкой
Правило сложения (вычитания):
пусть, – два нормализованных двоичных числа, и (в противном случае мы можем просто поменять их местами). В результате их сложения или вычитания будет получено следующее выражение:
.
Последовательность вычислений следующая:
- Порядки чисел A и B выравниваются по большему из них (в нашем случае это nA). Для этого мантисса числа B сдвигается на nA-nB разрядов вправо (часть значащих цифр при этом могут оказаться утерянными), а его порядок становится равным nA.
- Выполняется операция сложения (вычитания) над мантиссами с округлением по значению n+1-ой значащей цифры результата.
- Мантисса результата должна быть нормализована (получившийся после нормализации порядок может отличаться от nA как в меньшую, так и в большую сторону).
Если порядки равны, сложение-вычитание выполняется следующим образом:
A1 = m1pn
A2 = m2pn
Тогда:
A1 + A2 = m1pn + m2pn = (m1 + m2)pn
A1 - A2 = m1pn - m2pn = (m1 - m2)pn
Если порядки отличаются, то необходимо вначале их выровнять:
A1 = m1 pn1
A2 = m2 pn2
Тогда A1 + A2 = m1 pn1 + m2 pn2 = (m1 + m2pn2-n1) pn1
После чего нужно привести m2pn2-n1 к нормальному (т.е. к обычному, без показателя степени) виду, сложить с m1, полученный результат и будет мантиссой суммы, а порядком суммы будет n1.
Умножение-деление
A1 = m1pn1; A2 = m2pn2
Тогда:
A1 * A2 = m1pn1 * m2pn2= m1 * m2 * pn1* pn2 = (m1 * m2) * pn1+n2
A1 / A2 = m1pn1 / m2pn2 = m1 / m2 * pn1 / pn2 = (m1 / m2) * pn1-n2
То есть, при умножении нужно перемножить мантиссы и сложить показатели степени, при делении – разделить мантиссы и вычесть из показателя степени делимого показатель степени делителя. Например:
(1,2·105) · (2·10-2) = (1,2 · 2) ·105-2 =2,4·103
