Что такое однородная система линейных уравнений?

Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например:

Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна, то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение 

Пример 1

Решить однородную систему линейных уравнений

Решение: чтобы решить  однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.

Ответ: 

14. Понятие фундаментальной системы решений.

Фундаментальная система решений – это множество линейно независимых векторов , каждый из которых является решением однородной системы, кроме того, решением также является линейная комбинация данных векторов , где  – произвольные действительные числа.

Количество векторов  фундаментальной системы рассчитывается по формуле:

Однако в практических заданиях гораздо удобнее ориентироваться на следующий признак: количество векторов  фундаментальной системы равно количеству свободных неизвестных.

Представим общее решение  Примера №3  в векторной форме. Свободная переменная в данном случае одна, поэтому фундаментальная система решений состоит из единственного вектора . Как его найти? Для этого свободной переменной нужно придать произвольное ненулевое значение. Проще всего, конечно же, выбрать  и получить: .

Координаты вектора  должны удовлетворять каждому уравнению системы, и будет не лишним в этом убедиться.

Ответ следует записать в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы. В нашей ситуации линейная комбинация состоит из одинокого слагаемого. Общее решение однородной системы я буду обозначать через вектор  (подстрочный индекс расшифровывается «Общее Однородной»).

Ответ: общее решение: , где  (любое вещественное число)

15. Свободный вектор

Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка , концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор. 

16. Векторы и линейные операции над ними

Сложение векторов. Пусть  и  – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ; затем от точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается  (рис. 1).

 

 

Рис. 1

Ту же сумму можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы  и . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОАСВ. Вектор  – диагональ параллелограмма – является суммой векторов  и  (рис. 2).

 

Рис. 2

Понятие суммы можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых (рис. 3).

 

Рис. 3

Вычитание векторов. Разностью  векторов  и  называется такой вектор , который в сумме с вектором  дает вектор :  Û .

Если векторы  и  привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (рис. 4).

 

Рис. 4

Таким образом, если на векторах  и , отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор , совпадающий с одной диагональю, равен сумме , а вектор , совпадающий с другой диагональю, – разности  (рис. 5).

 

Рис. 5

Умножение вектора на число. Произведением вектора  на действительное число  называется вектор  (обозначают ), определяемый следующими условиями:

1)     ,

2)      при  и  при .

Очевидно, что при  .

Построим, например, векторы  и  для заданного вектора  (рис. 6).

Рис. 6

Из определения следует: два вектора  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство :

 

 17.Проекция вектора на ось. Координаты вектора и его свойства

 

Пусть в декартовых координатах OXYZ вектор AB задан координатами начала А(х1;у1;z1) и конца В(х2;у2;z2) этого вектора.

Нам уже известно определение проекции точки на ось как основания перпендикуляра, проходящего через заданную точку.

Проекцией вектора AB на ось ОХ называется разность между абсциссами проекции конца и начала вектора AB.

т.е. ПРох AB=х2-х1, ПРоу AB=у2-у1, ПРoz AB=z2-z1.

Для краткости используют следующие обозначения данных проекций:

ПРох AB=Х, ПРоу AB=У и ПРоz AB=Z, тогда получаем Z=z2-z1, Х=х2-х1,

У=у2-у1.

Из рассмотренных формул следует, что проекция вектора на любую ось есть длина отрезка между основаниями перпендикуляров, опущенных из точек А и В на эту же ось, взятая со знаком “+”, если направление отрезка и направление оси совпадают, и со знаком “-“, если они противоположны.

Можно доказать, что: а) если проекции вектора заданы, то они однозначно определяют сам вектор; б) если два вектора равны, то они имеют равные проекции,

поэтому проекции вектора на оси называют его координатами

AB=(Х;У;Z).

Некоторые свойства проекции вектора на ось: 

Для определённости будем рассматривать эти свойства относительно оси ОХ.

Предположим, что вектор a=AB образует с осью ОХ угол φ.

Угол между вектором a и осью определим следующим образом.

Через произвольную точку пространства проведем 2 луча – один ║ положительному направлению ОХ, а другой - ║ направлению вектора. Угол между лучами определяет угол между вектором и осью.

Проекция вектора на ось ОХ равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью.

Рис. 1.15. Проекция вектора на ось

 

Пусть задан вектор AB и АхВх - его проекция на ось ОХ. Опустив перпендикуляр из точки А на ось ОХ, получаем Ах.

А

Проведем через точку А прямую ║ вектору AB до пересечения ВВх  и получим точку с. Из треугольника СВхА имеем

ПР ох AB=А хВх=│А хC│cosφ=│АВ│cosφ

Проекция суммы нескольких векторов на ось равна сумме проекций складываемых векторов на ту же осью;

При умножении вектора AB на число m, его проекция умножится на то же число m.