пользователей: 21281
предметов: 10473
вопросов: 178149
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ


13. Однородные системы линейных уравнений.

Что такое однородная система линейных уравнений?

Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например:

Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна, то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение 

Пример 1

Решить однородную систему линейных уравнений

Решение: чтобы решить  однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.

Ответ

14. Понятие фундаментальной системы решений.

Фундаментальная система решений – это множество линейно независимых векторов , каждый из которых является решением однородной системы, кроме того, решением также является линейная комбинация данных векторов , где  – произвольные действительные числа.

Количество векторов  фундаментальной системы рассчитывается по формуле:

Однако в практических заданиях гораздо удобнее ориентироваться на следующий признак: количество векторов  фундаментальной системы равно количеству свободных неизвестных.

Представим общее решение  Примера №3  в векторной форме. Свободная переменная в данном случае одна, поэтому фундаментальная система решений состоит из единственного вектора . Как его найти? Для этого свободной переменной нужно придать произвольное ненулевое значение. Проще всего, конечно же, выбрать  и получить: .

Координаты вектора  должны удовлетворять каждому уравнению системы, и будет не лишним в этом убедиться.

Ответ следует записать в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы. В нашей ситуации линейная комбинация состоит из одинокого слагаемого. Общее решение однородной системы я буду обозначать через вектор  (подстрочный индекс расшифровывается «Общее Однородной»).

Ответ: общее решение: , где  (любое вещественное число)

15. Свободный вектор

Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка , концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор

16. Векторы и линейные операции над ними

Сложение векторов. Пусть  и  – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ; затем от точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается  (рис. 1).

 

 

Рис. 1

Ту же сумму можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы  и . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОАСВ. Вектор  – диагональ параллелограмма – является суммой векторов  и  (рис. 2).

 

Рис. 2

Понятие суммы можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых (рис. 3).

 

Рис. 3

Вычитание векторов. Разностью  векторов  и  называется такой вектор , который в сумме с вектором  дает вектор :  Û .

Если векторы  и  привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (рис. 4).

 

Рис. 4

Таким образом, если на векторах  и , отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор , совпадающий с одной диагональю, равен сумме , а вектор , совпадающий с другой диагональю, – разности  (рис. 5).

 

Рис. 5

Умножение вектора на число. Произведением вектора  на действительное число  называется вектор  (обозначают ), определяемый следующими условиями:

1)     ,

2)      при  и  при .

Очевидно, что при  .

Построим, например, векторы  и  для заданного вектора  (рис. 6).

Рис. 6

Из определения следует: два вектора  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство :

 

 17.Проекция вектора на ось. Координаты вектора и его свойства

 

Пусть в декартовых координатах OXYZ вектор AB задан координатами начала А(х1;у1;z1) и конца В(х2;у2;z2) этого вектора.

Нам уже известно определение проекции точки на ось как основания перпендикуляра, проходящего через заданную точку.

Проекцией вектора AB на ось ОХ называется разность между абсциссами проекции конца и начала вектора AB.

т.е. ПРох AB=х2-х1, ПРоу AB=у2-у1, ПРoz AB=z2-z1.

Для краткости используют следующие обозначения данных проекций:

ПРох AB=Х, ПРоу AB=У и ПРоz AB=Z, тогда получаем Z=z2-z1, Х=х2-х1,

У=у2-у1.

Из рассмотренных формул следует, что проекция вектора на любую ось есть длина отрезка между основаниями перпендикуляров, опущенных из точек А и В на эту же ось, взятая со знаком “+”, если направление отрезка и направление оси совпадают, и со знаком “-“, если они противоположны.

Можно доказать, что: а) если проекции вектора заданы, то они однозначно определяют сам вектор; б) если два вектора равны, то они имеют равные проекции,

поэтому проекции вектора на оси называют его координатами

AB=(Х;У;Z).

Некоторые свойства проекции вектора на ось: 

Для определённости будем рассматривать эти свойства относительно оси ОХ.

Предположим, что вектор a=AB образует с осью ОХ угол φ.

Угол между вектором a и осью определим следующим образом.

Через произвольную точку пространства проведем 2 луча – один ║ положительному направлению ОХ, а другой - ║ направлению вектора. Угол между лучами определяет угол между вектором и осью.

Проекция вектора на ось ОХ равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью.

 
 

Рис. 1.15. Проекция вектора на ось

 

Пусть задан вектор AB и АхВх - его проекция на ось ОХ. Опустив перпендикуляр из точки А на ось ОХ, получаем Ах.

А

Проведем через точку А прямую ║ вектору AB до пересечения ВВх  и получим точку с. Из треугольника СВхА имеем

ПР ох AB=А хВх=│А хC│cosφ=│АВ│cosφ

Проекция суммы нескольких векторов на ось равна сумме проекций складываемых векторов на ту же осью;

При умножении вектора AB на число m, его проекция умножится на то же число m.


27.01.2015; 22:44
хиты: 379
рейтинг:0
Точные науки
математика
алгебра
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь