Рассмотрим несколько важнейших элементарных функций и найдём для них многочлены Тейлора при .
1. Рассмотрим функцию . Все её производные совпадают с ней: , так что коэффициенты Тейлора в точке равны
Поэтому формула Тейлора для экспоненты такова:
2. Рассмотрим функцию . Её производные чередуются в таком порядке:
а затем цикл повторяется. Поэтому при подстановке также возникает повторение:
и т. д. Все производные с чётными номерами оказываются равными 0; производные с нечётными номерами равны 1 при , то есть при , и при , то есть при . Таким образом, при всех и коэффициенты Тейлора равны
Получаем формулу Тейлора для синуса:
Заметим, что мы можем записать остаточный член вместо (как можно было бы подумать), поскольку можно считать, что слагаемое порядка 
, с коэффициентом, равным 0, тоже включено в многочлен Тейлора.
3. Для функции производные также чередуются с циклом длины 4, как и для синуса. Значения в точке имеют то же чередование:
Нетрудно видеть, что при , и при , . Поэтому разложение косинуса по формуле Тейлора имеет вид
Здесь мы также считаем, что последним в многочлене Тейлора выписано слагаемое, содержащее
