Теорема 17.1 (Теорема Ферма)
Если функция имеет производную и в точке имеет экстремум, то значение производной в этой точке равно 0.
Доказательство
Пусть - точка минимума. Тогда при . Значение выражения . Значит, . Рассмотрим теперь , при этом также , и выражение . Значит, правая производная . По теореме 14.5 . Из ранее доказанного следует: . Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ферма
Существует такая точка , в которой касательная параллельна оси Ox. Замечания
|
- Равность нулю производной - необходимое условие существования экстремума, но не достаточное. То есть производная может быть равной 0 и вне точки экстремума. Пример: , но точка 0 - не экстремум.
Теорема 17.2 (Теорема Ролля)
Пусть:
- Функция непрерывна на отрезке : ;
- Для любого x из интервала существует производная: ;
- Значения функции на концах отрезка равны: .
Тогда существует такое , что производная .
Доказательство
- Функция непрерывна существуют .
- Если , то функция является константой, и ее производная в любой точке равна 0, т.е. теорема доказана.
- Если же , то оба значения не могут достигаться в концевых точках, т.к. и . Тогда хотя бы одно из них достигается во внутренней точке c, и, по теореме Ферма 17.1
Замечания:
- Существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси Ox (см. рисунок к теореме Ферма).
- Все условия теоремы Ролля существенны, т.е. нельзя отбростиь хотя бы одно из них
Теорема 17.3 (Первое следствие теоремы Ролля)
Пусть:
- Функция непрерывна на отрезке : ;
- Функция дифференцируема на интервале : ;
- Сужествуют такие, что .
Тогда такие, что .
Доказательство
Рассмотрим отрезок . Данный отрезок удовлетворяет всем требованиям теоремы Ролля. Тогда .
Применив теорему Ролля k раз, доказываем данное следствие.
Теорема 17.4 (Второе следствие теоремы Ролля)
Пусть:
- Существует функция, имеющая n производных, непрерывных на отрезке : ;
- Для любого x из интервала существует n+1 производная: ;
- Значения .
Тогда существует такая точка .
Доказательство
- По теореме Ролля для на отрезке .
- Рассмотрим отрезок , на котором непрерывна. Тогда существует производная на интервале . Так как . Значит, существует точка такая, что . Рассмотрим отрезок , на котором непрерывна. Значит, . На n-ном шаге имеем: . Рассмотрим на .
- Функция непрерывна на , значит, она непрерывна и на : ;
- Для любого x из существует n+1 производная: ;
- Значения ее на концах равны: .
Данные 3 заключения удовлетворяют условию теоремы Ролля. Значит, .
Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х) непрерывна на отрезке [а ; b] и дифференцируема в интервале (а ; b), то в этом интервале найдется такая точка с, что
Эта теорема имеет простой геометрический смысл (рис.): на графике функции у = f (х) между точками А и В найдется такая внутренняя точка С, что касательная к графику в точке С параллельна хорде АВ.
Следствие. Если f ′(x) = 0 в интервале (а ; b), то в этом интервале функция f (х) постоянна.
Теорема Коши. Если функции f (х) и g (х): 1) непрерывны на отрезке [а ; b];
2) дифференцируемы в интервале (а ; b);
3) g'(x) ≠ 0 в этом интервале,
то в интервале (а ; b) существует такая точка с, что имеет место равенство