Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний, от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости называемых фокусами есть величина постоянная большая,чем расстояние между фокусами.Обозначим фокусы через F1 и F2, а расстояние между ними через 2С. Сумму расстояний от произвольной точки М с координатами х,у эллипса до фокусов обозначим через 2А. формула(61)
По определению 2А больше,чем 2С следовательно a>c
Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Oxy таким образом, чтобы фокусв F1 F2 лежали бы на оси Ox,а начало координат совпадало с серединой отрезка F1 F2 значит F1(-c,0) F2(c,0)
Пусть М(х,у) - произвольная точка эллипса IMF1I+IMF2I = 2A
формула(62) , т.к. a>c, то а^2 - c^2 > 0 значит a^2-c^2=b^2
b^2x^2+a^2y^2= a^2b^2 делить на a^2b^2
получается формула(63)
Каноническое уравнение эллипса
Эллипс - это кривая второго порядка. Установим форму эллипса пользуясь его каноническим уравнением.
1) формула(63) содержит x и y только в четных степенях значит (х,у) принадлежат эллипсу значит (-х,у) , (-х,-у), (х,-у) принадлежат эллипсу значит эллипс фигура симметричная относительно осей Ох и Оу,а так же начала координат О,которая в нашем случае называется центром эллипса.
2) найдем точки пересечения эллипса с осями координат формула(64) точки А1,А2 и В1,В2 называется вершинами эллипса. Отрезки [А1,А2] и [В1,В2] а также их длины 2a и 2b называются большой и малой осями эллипса. Числа a и b называются большой и малой полуосью эллипса.
3) Из формула(63) следует формула(65) отсюда следует, что все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми
В уравнении формула(63) значит если одно слагаемое возрастает, то другое убывает, т.е. если модуль х возрастает, то модуль у убывает значит можно построить эллипс
формула(66)
