Течение вязкой жидкости в зазорах.

Течение вязкой жидкости в зазорах. Гидростатический подшипник и его гидростатический расчет.

Течение жидкости в капиллярных щелях подчиняется общим законам гидравлики, а критическое число Рейнольдса обычно соответствует

, (3.1)

где s - величина щели (зазора);

u и ν -скорость течения и коэф. кинематической вязкости жидкости.

Размеры же щели s в гидроагрегатах не превышают 10-15 мкм, поэтому поток жидкости для распространённых условий работы (давлений и вязкостей жидкости) носит обычно ламинарный характер.

На рис.3.1 представлена типовая схема течения жидкости под действием перепада давления между двумя параллельными пластинами, находящимися одна от другой на таком расстоянии, что образуют капиллярную щель размером (высотой) s.

Рис.3.1.

Допустим, что размер пластин достаточно велик, чтобы считать поток двухмерным, и что распределение скоростей в сечении между пластинами имеет параболический характер, соответствующий ламинарному течению.

Рассмотрим некую элементарную частицу а жидкости, находящуюся у нижней пластины. Силе, возникающей под действием перепада давления Δр, противодействует напряжение сдвига τ, действующее на нижнюю поверхность (плоскость) dx; на верхней поверхности напряжение сдвига действует в обратном направлении, поскольку слой жидкости, прилегающей к этой поверхности, движется со скоростью, большей, чем эта частица. В связи с уменьшением градиента скорости dи/dу, напряжение сдвига на верхней плоскости сдвига меньше, чем на нижней, на бесконечно малую величину dτ.

Из условия равновесия действующих сил имеем

. (3.2)

или

; или (3.3)

Принимая во внимание, что

и (см.. 2.6)

можно написать

. (3.4)

Интегрируя это выражение дважды по у, находим скорость потока жидкости и:

(3.5)

Постоянные интегрирования определяются условиями равенства нулю скоростей на границах (у поверхности пластин), т.е. для у= значение С1 становится равным нулю и , отсюда

(3.6)

Максимальная скорость потока umax имеет место при у=0 и равна

(3.7)

Так как скорость потока уменьшается соответственно степени величины s, то распределение скоростей по сечению потока будет параболическим.

Средняя скорость потока

(3.8)

Для случая приращения скорости du, соответствующего приращению координаты dy () имеем

(3.9)

Ввиду того, что давление уменьшается по линейному закону, градиент давления равен

(3.10)

Тогда (3.11)

где L- длина щели в направлении движения потока жидкости.

Расход жидкости через единицу длины щели в плоскости, перпендикулярной к плоскости ху, равен

(3.12)

Для ширины w щели в плоскости, перпендикулярной к потоку, расход при ламинарном течении равен

(3.13)

а перепад давления

, (3.14)

где w - ширина щели в направлении, перпендикулярном к движению потока жидкости;

-градиент давления по длине щели в направлении потока;

и -коэф. динамической и кинематической вязкости;

и - удельный вес и ускорение силы тяжести.

Приравняв общее выражение потерь (см.. 2.18) к выражению (3.14) и подставив u=Q/f и f=ws, получим

. (3.15).

Приведённые расчёты проведены в предположении, что вязкость ν жидкости в щели постоянна, тогда как в действительности она зависит от температуры и давления жидкости, являющиеся величинами переменными (и в особенности при сверхвысоких давлениях) по ходу течения жидкости.

Поскольку изменения вязкости жидкости в щели носят сложный характер, при практических расчётах вводят среднее значение вязкости

, (3.16)

где ν1 и ν2 - кинематическая вязкость жидкости при фактических температурах и давлениях на входе в щель и на выходе из неё.

Течение через щель с подвижной стенкой.

Характерным для гидросистем является также течение жидкости под действием перепада давления Δр=р1-р2 между двумя пластинами (поверхностями), удалёнными одна от другой на расстояние s, одна из которых неподвижна, а вторая перемещается относительно первой со скоростью υ (см. рис.3.2) относительно неподвижной пластины. В соответствии с этим в рассмотренных выше уравнениях, описывающих движение жидкости, должен быть учтён перенос жидкости движущейся пластиной (с учётом фрикционного движения жидкости).

Воспроизведём уравнение (3.5)

(3.17)

Рис.3.2

Для рассматриваемого случая фрикционного движения жидкости граничные условия будут

u=0 при ; (3.18)

при , (3.19)

где υ - скорость движения пластины, которая может быть величиной положительной или отрицательной в зависимости от того, совпадает ли направление движения границы с направлением течения жидкости или противоположно ему (рис.3.3)

Рис.3.3.

С учетом граничных условий можем записать

при (3.20)

при (3.21)

Отсюда находим

и (3.22)

В этом случае

(3.23).

Общий расход (утечка) жидкости

. (3.24)

Интегрируя и произведя соответствующие преобразования, получим

. (3.25)

При принятом условии, что градиент давления получим

. (3.26)

Течение через кольцевую щель.

Рис.3.4. Расчетная схема

Расчет утечек через концентрическую кольцевую щель (рис.3.4) рассчитывается при ламинарном течении по выражению (3.8) с заменой ширины щели w=πd, где d - средний диаметр щели:

(3.27)

Среднюю скорость потока жидкости можно представить выражением

, (3.28)

где f -площадь сечения щели;

Подставив в эту формулу значение Q из формулы (3.27), получим

. (3.29)

Отсюда перепад давления

(3.30).

Величину расхода (утечки) жидкости через щель с учетом движения цилиндра (поршня) можно определить (см. формулу (3.13)) так:

(3.31)

Влияние эксцентричности щели.

Рис.3.5. Расчетная схема.

Учитывая, что абсолютная величина зазора s в рассматриваемых агрегатах ничтожно мала по сравнению с величинами диаметров плунжера и цилиндра, можем приближенно написать (см. рис. 3.5)

, (3.32)

где а - величина радиального зазора для положения, соответствующего углу ;

е- эксцентриситет;

- относительный эксцентриситет;

- величина радиального зазора при концентрическом расположении плунжера и цилиндра;

R и r - радиусы цилиндра и плунжера.

Выделив элемент зазора шириной rdφ, и рассматривая его как плоскую щель, можно записать с учетом уравнения (3.14) выражения для элементарного расхода

(3.33)

Проинтегрировав, получим расход жидкости через зазор:

(3.34)

где Qc - расход при соосном расположении плунжера.

Учитывая, что максимальное значение эксцентриситета е равно номинальному радиальному зазору s, можно написать

, (3.35)

где -расход жидкости при максимальном значении эксцентриситета.

Отсюда перепад давления для максимального эксцентриситета

(3.36)

Из сравнения выражения (3.27) и (3.35) видно, что расход утечек жидкости при максимальной эксцентричности плунжера и втулки превышает в 2,5 раза расход при концентричном их положении.

Гидростатический подшипник

В высокооборотных насосах и гидромоторах применяются гидростатические опорные пяты (подшипники), в которых смазка эффективна при сколь угодно малых скоростях, что очень важно, например при пуске гидромотора. Смазка в этих подшипниках обеспечивается подачей в зазор между трущимися поверхностями жидкости под таким давлением, при котором внешняя нагрузка уравновешивается силой давления жидкости и одна из скользящих поверхностей всплывает, теряя при этом контакт с другой. Благодаря этому представляется возможным воспринять масляной пленкой большие нагрузки без контакта металлических поверхностей.

Рис. 3.6 Расчетная схема

В большинстве конструкций ГМ гидростатические (плавающие) подшипники (пяты) питаются от рабочей среды этой машины без применения вспомогательного источника давления. Подпятник предназначен для восприятия нагрузки от силы рабочего давления жидкости р1 на плунжер 3 диаметром D.

Для разгрузки подвижного элемента 3 (плунжера) из рабочего цилиндра насоса в камеру 4 к скользящим сферической и плоской поверхностям через осевые каналы 2 плунжера 3 и опорного башмака 1 подводится жидкость под давлением р2 усилие которой создает в зазоре между подпятником и опорной поверхностью жидкостную пленку, воспринимающую внешнюю нагрузку.

Для нахождения градиента давления для рассматриваемой плоской кольцевой щели в функции ее текущего радиуса r преобразуем уравнение (3.14):

(3.37)

Подставив значение w=2πr и L=dr, получим

(3.38)

Интегрируя это выражение в интервале от rо до R,: находим давление:

(3.39)

Исходя из известных граничных условий давления (при r=ro давление p=р2, а при r=R давление p=ро), уравнение расхода жидкости через плоскую щель примет вид

(3.40)

Грузоподъемность подшипника определится по выражению

(3.42)

Подставив из уравнений (3.3) и (3.4) значения р и Q и произведя интегрирование, получим выражение для расчета грузоподъемности кольцевого гидростатического подшипника:

(3.43)

Условие равновесия действующих в схеме сил имеет вид:

(3.44)

где р1 и р2 - давление, развиваемое насосом, и давление в камере опорного башмака.

Расход может быть вычислен по уравнению (3.4) (3.7)

Приравняв расход (утечку) жидкости через торцевую щель к расходу через капиллярное осевое отверстие в плунжере, вычисляемому по уравнению (2.13), получим уравнение для определения диаметра d отверстия:

(3.45)

тогда

(3.46)

При расчетах последовательных и параллельных гидравлических сопротивлений следует учитывать, что в первом случае Q=Q1=Q2=...=Qn, а во втором Q=Q1+Q2+...+Qn.

Также следует принимать во внимание влияние нагрева на поля давлений в торцевом зазоре.