Если в рациональной дроби некоторые из слагаемых в числителе или знаменателе заменить корнями от рациональных дробей (в том числе от многочленов), то полученная функция будет называться
иррациональной. В некоторых случаях интегралы от иррациональных функций удается рационализировать, т. е. с помощью подходящей подстановки свести к интегралам от рациональных дробей. Рассмотрим наиболее типичные случаи (везде далее подразумевается, что подынтегральная функция — иррациональная).
1. Если корни в подынтегральном выражении имеют вид:
и т. д., то оно преобразуется в рациональную дробь с помощью подстановки , где k — наименьшее общее кратное показателей корней, т. е. чисел m и n.
2. Если выражение под знаком интеграла содержит только корни (в частности, при b = 0, а = 1 получаем случай 1), то оно приводится к рациональной дроби с помощью подстановки , где k — наименьшее общее кратное показателей корней, т. е. чисел m и n.
3. Если выражение под знаком интеграла содержит только корни (в частности при с=0 и d = 1 получаем случай 2, а при с = b = 0, d = а = 1 — случай 1), то оно приводится к рациональной дроби с помощью подстановки , где k — наименьшее общее кратное показателей корней, т. е. чисел m и n...
4. Если подынтегральное выражение представляет собой дифференциальный бином, то есть равно , где рациональные числа, то данный интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби в следующих трех случаях:
1) целое число, тогда интеграл можно рационализировать при помощи подстановки , где k – общий знаменатель дробей m и n;
2) целое число, тогда интеграл можно рационализировать при помощи подстановки , где k – знаменатель числа p;
3) целое число, в этом случае интеграл можно рационализировать при помощи подстановки , где k – знаменатель числа p.
