На практике чаще всего возникает необходимость исследовать зависимость результативного признака от нескольких факторных признаков. Тогда статистическая модель представляется уравнением регрессии с несколькими переменными величинами. Такая регрессия называется множественной.
Множественная линейная регрессия имеет вид:
, где – фиктивная переменная.
Параметры уравнения определяются МНК, при этом значения x и y представляются в матричном виде:
матрица - значений независимых переменных.вектор значений зависимый переменной . - вектор оценок параметров.вектор ошибок .
Тогда: линейная модель в векторном виде
.
Вектор оценки , где - транспонированная матрица, строки исходной матрицы в транспонированной становятся столбцами, - обратная матрица.
, где - единичная матрица.
.
Например, сравнить параметры (коэффициенты регрессии) в уравнении нельзя, если они не выражаются в одинаковых единицах.
Для сравнения применяют нормированные коэффициенты регрессии (бетта-коэффициент): он показывает величину изменения результативного признака при изменении факторного признака на одну среднюю квадратическую ошибку (в единицах измерения ошибки):
, где - параметр при факторе, - средне квадратическое отклонение факторного признака, - среднее квадратическое отклонение результативного признака.
Анализ дополняется расчётом коэффициента эластичности факторных признаков:
- он показывает, на сколько процентов изменится результативный признак , если факторный признак изменится на 1%, а остальные факторы будут зафиксированы на каком-либо уровне (среднем).
Те факторы, у которых и большие, по сравнению с другими, сильно влияют на результативный признак, а те, у которых и незначительны, - слабо влияют и могут быть отброшены.
Рассчитывается также коэффициент множественной корреляции – он показывает тесноту связи результативного признака со всеми факторными признаками .
Для линейной функции он:
, - остаточная дисперсия, - дисперсия результативного признака.
,. Коэффициент множественной детерминации = .
Рост множественного коэффициента корреляции обеспечивается включением в модель факторных признаков. Для оценки вклада каждого фактора применяют частные коэффициенты корреляции. Частный коэффициент корреляции – показатель, характеризующий тесноту связи между признаками при элиминации всех остальных признаков.
