Средние, применяемые в статистике, относятся к классу степенных средних. Общая формула средней:
,x cp=mкорень (сумма х^m)/n где
x - меняющаяся величины признака (варианта)
n - число вариант
m - показатель степени средней
å - знак суммы «сигма»
xcp- средняя величина.
Существуют следующие виды средних:
- средняя арифметическая ( простая и взвешенная)
- средняя гармоническая
- средняя геометрическая (применяется чаще при исчислении средних темпов динамики)
- средняя квадратическая (при исчислении показателей вариации)
Средняя арифметическая
Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака у отдельных единиц, например, ФЗП = сумма заработной платы, выплаченной отдельным рабочим.
Среднее арифметическое получают делением суммы значений варьирующего признака на число этих значений.
- простая xcp=(сумма х )/n
- взвешенная xcp = (сумма xf)/(сумма f)
Среднюю арифметическую используют, когда частота у каждой варианты = 1
Три приема расчета средней арифметической (в зависимости от характера исходных данных):
- если имеются значения варьирующего признака, полученные из наблюдения, то техника вычисления сводится к суммированию и делению.
- чаще в статистической практике: имеется общий объем значений и численность единиц совокупности – деление (ФЗП и ср/сп. численность Þ ср. з/пл)
- средняя арифметическая на базе вариационного ряда:
- дискретного (по формуле средней арифметической взвешенной)
- интервального
Для расчета средней в интервальном ряду надо перейти к дискретному ряду, т.е. по каждой группе исчисляется средняя по простой арифметической
При открытых интервалах (до 700руб.) берут значение последующего интервала или предыдущего.
Свойства средней арифметической
- произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариант на частоты. xcp*сумма*f=сумма*x*f
- если от каждой варианты отнять какое-либо число, то новая средняя уменьшится на то же число. (сумма(х-А)*ф)/сумма ф= хср-А
- если к каждой варианте прибавить какое-либо число, то новая средняя увеличится на то же число (сумма(х+А)*ф)/сумма ф= хср+А
- если каждую варианту разделить на какое-либо число, то средняя арифметическая уменьшится во столько же раз. (сумма (х/А)*ф)/суммаф = хср/А
- если каждую варианту умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая увеличится во столько же раз. (сумма(х*А)*ф)/сумма ф=хср*А.
- если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится так как не изменится удельный вес каждой частоты: 2,6,10,12,29,22,16,3, в сумме дадут 100.
- сумма отклонений вариант от средней арифметической всегда равняется 0. сумма(х-хср)=0,
Эти свойства применяются для упрощения расчетов средней, особенно в интервальных рядах
хср=m1*i+A , где m1=(сумма(х-А/i)*f)/сумма f. , где
m1 – момент первого порядка
i – величина интервала
A – произвольная постоянная величина, обычно центральная варианта ряда.
Такой способ расчета средней называется способом моментов или способом отсчета от условного нуля.
- Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической, то есть рассчитанная из обратных значений признака. Применяется, когда веса приходится не умножать, а делить на варианты или умножать на их обратные значения.
, xср=(сумма w)/(сумма1/х*w) где w=x*f
Таблица 3.
Расчет среднего процента выполнения плана.
- если за веса взять факт, то есть нет данных по плану
(102,5%), то есть средняя гармоническая применяется, когда нет данных о частотах (весах) по отдельным вариантам, но есть информация об их произведении (варианты*частоты). В практике чаще применяется средняя гармоническая взвешенная (как в примере); бывает простой; она применяется, если произведения (объемы явлений) по каждому признаку равны, взяты за единицу.
- Средняя геометрическая – средний показатель, который вычисляется как корень n-ой степени из произведения вариант х (х1,х2…)
- Средняя квадратическая – показатель вариации признака, ó=корень(сумма(х-хср)^2*f)/сумма ф)
