Определение
Натуральным числом называется общее свойство класса непустых конечных, равномощных (эквивалентных) друг другу множеств. Этим общим свойством является численность множеств.
Численность множества А обозначается: n (А) или |А|.
Если А1~А2~Аз~...~Аk, то n (А1) = n(А2) =...= n(Аk) = а
(то есть эти множества находятся в одном классе эквивалентности.)
Получаемое в этом случае число а есть количественное натуральное число.
Число «нуль» также имеет теоретико-множественное истолкование – оно ставится в соответствие «пустому» множеству:
0 = n(Æ),
Z0=N0={0, 1, 2, 3,…}-множество целых неотрицательных чисел.
Рассмотрим два конечных множества А и В.
Пусть n(А)=а; n(В)=b.
Определение Говорят, что а = b тогда и только тогда, когда множества А и В принадлежат одному и тому же классу, это значит, что А~В.
a = b « А~В
Если А и В неэквивалентны, то множества А и В принадлежат разным классам, а поэтому соответствующие им числа различны.
Определение. Отрезком натурального ряда Nа называется множество натуральных чисел, не превосходящих натуральное число а.
Nа = {х|хÎ N, х £ а}.
Например: N4 = {х|хÎ N, х £ 4}={1,2,3,4},
N10 ={х|хÎ N, х £ 10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
Любой отрезок Nа содержит 1.
Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда чисел.
Теорема:
Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда чисел. (без доказательства)
Определение . Множество А называется конечным, если существует взаимно однозначное соответствие между его элементами и некоторым отрезком( Na ) натурального ряда чисел т.е. А~ Nа.
Например: множество А - вершин квадрата есть конечное множество, т.к. оно равномощно отрезку N4= {1,2,3,4}, т.е. А~ N4.
Если непустое конечное множество равномощно отрезку Nа (А~ Nа), то число а называют числом элементов множества А: а = n(А).
Взаимно однозначное отображение множества А на отрезок Na можно понимать как нумерацию элементов множества А: А ~ Na.
Этот процесс нумерации называют СЧЕТОМ.
Таким образом, счет- это деятельность, характеризующаяся:
1. Целью – узнать сколько.
2. Средством – установление взаимно однозначного соответствия между элементами множества и отрезком натурального ряда чисел
3. Результатом – определением количества элементов
