Теорема 31. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда,
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
Определение. Если непустое конечное множество А равномощно отрезку Nа, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут п(А) = а.
Например, если А - множество вершин треугольника, то п(А) = 3. Из данного определения и теоремы 31 получаем, что для любого непустого конечного множества А число а = п(А) единственное.
Определение. Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества Л.
Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элементов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться элементы множества. Поэтому можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Затем какому-либо из оставшихся элементов сопоставить число 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение, последнему оставшемуся элементу мы поставим в соответствие число а.
В процессе счета мы не только найдем число элементов множества А, но и упорядочим его: элемент, которому соответствует число 1, первый; элемент, которому сопоставлено число 2, - второй, и т.д.
Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.