Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа. Но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа, рассмотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет, и другие.
Определение. Отрезком Nа натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.
Используя запись множества, для элементов которого указано характеристическое свойство, можно записать, что Nа= {х\ х Î N и х £ а}.
Например, отрезок N7 - это множество натуральных чисел, не превосходящих числа 7, т.е. N7 = {1,2,3,4, 5, 6, 7}.
Отметим два важных свойства отрезков натурального ряда.
1) Любой отрезок Nа содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка Nа.
2) Если число х содержится в отрезке Nа и х ¹ а, то и непосредственно следующее за ним число х+1 также содержится в Nа.
Действительно, если х Î Nа, и х ¹ а, то х < а. Это означает, что существует такое натуральное число с, что а = х + с.Если с= 1, то а= х + с. Если с = 1, то а = х + 1, а значит, х + 1 содержится в Nа. Если же с > 1, то с - 1 – натуральное число и, следовательно, а = х + с = (х + 1) + (с - 1). Но тогда х + 1 < а, т.е. х + 1 - натуральное число, принадлежащее отрезку Nа.
Определение. Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку Nа натурального ряда.
Например, множество А вершин треугольника - конечное множество так как оно равномощно отрезку N3 = {1, 2, 3}, т, е. А ~ N3.
Теорема 31. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда,
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
Определение. Если непустое конечное множество А равномощно отрезку Nа, то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут п(А) = а.
Например, если А - множество вершин треугольника, то п(А) = 3. Из данного определения и теоремы 31 получаем, что для любого непустого конечного множества А число а = п(А) единственное.
Определение. Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества Л.
Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элементов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться элементы множества. Поэтому можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Затем какому-либо из оставшихся элементов сопоставить число 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение, последнему оставшемуся элементу мы поставим в соответствие число а.
В процессе счета мы не только найдем число элементов множества А, но и упорядочим его: элемент, которому соответствует число 1, первый; элемент, которому сопоставлено число 2, - второй, и т.д.
Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.
