Определение:
Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию a:b=c тогда и только тогда, когда b×с=а.
Выражение a:b называется частным, а число c- значением частного.
Число а называется делимым, число b-делителем.
Теорема 9. Для того, чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы b≤а .
Док-во:
Пусть существует частное натуральных чисел а и b, равное c.
сNÎ, с=а:b
Это значит, что а=b×с.
Так как 1-наименьшее натуральное число, то 1≤с.
Неравенство 1≤с |∙b, где b-натуральное число
Тогда b≤ с ∙b.
По условию b×с=а, поэтому b ≤ a. ч.т.д.
Теорема 10. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственное.
(доказать самостоятельно!)
Теоремы о делимости и правила деления:
ТЕОРЕМА 1. (достаточное условие делимости суммы на число)
Если числа а и b делятся на число с, то и их сумма делится на это число с т.е. ("а, bÎN)а:с и b:сÞ (а+b):с .
Доказательство.
Т.к. а:с Þ ($кNÎ) а=с×к, т.е. (а:с=к).
b:с Þ ($уNÎ) b=с×у, т.е. (b:с=у).
Тогда, а+b=с×к+с×у=с×(к+у).
Это значит, что сумма чисел (а+b):с, причем, частное равно к+у.
Правило1.
Для того, чтобы сумму а+b разделить на число с, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить. ("а, b ÎN) (а+b):с =а×с+b×с.
ТЕОРЕМА 2 - достаточное условие делимости разности
Если натуральные числа а и b делятся на число с и а>b,
то разность а-b делится на с.
("а , bÎN, а >b) а:с и b:сÞ (а–b):с.
(доказать самостоятельно)
Правило2.
Чтобы разделить разность чисел а и b на с, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе. ("а, bÎN, а >b) (а–b):с= а:с– b:с.
Теорема 3. (Достаточное условие делимости произведения)
Если натуральное число а
делится на натуральное число с, то произведение а ∙ х, где х любое натуральное число, делится на с.
а:сÞ("хNÎ)(ах:с).
Правило 3.
Чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.
(а×х):с=(а:с)×х, для любого хNÎ
Правило 4 (деление числа на произведение)
Если натуральное число а делится на с и на b, Для того, чтобы разделить число а на (с×b), достаточно а разделить на с (или b) и полученное частное разделить на b(или с), а:(с×b)=(а:с): b=(а: b):с.
