Отношение порядка на множестве натуральных чисел можно задать при помощи отношения «меньше».
Определение: Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
Символически это определение можно записать так: а < b Û ($ с NÎ) а + с = b
Свойства отношения «меньше» на множестве натуральных чисел
1) Транзитивность отношения «меньше» ("а, b,сÎN) а < b и b < с следует a < c
Доказательство:
Если a<b, то a+k=b
Если b<c, то b+d=c, тогда
a+k+d=a+(k+d)=a+t
(т.к. k и d – натуральные, то (k+d)=t)
Тогда a+t=c, следовательно a<c.
ч.т.д.
2) Антисимметричность ("а, bÎ N) если а < b, то не верно, что b <a.
Доказательство:
Пусть справедливы оба неравенства
a<b и b<a.
Тогда a+k=b
b+d=a. По свойству транзитивности, имеем b+d+k=b или b+t=b.
Получили противоречие.
Значит наше предположение неверно. Следовательно, отношение меньше на множестве натуральных чисел антисимметрично.
3) ("а, b принадлежитN) имеет место одно и только одно из трех отношений а < b или а >b или a=b
Это значит, что отношение «меньше» является отношением линейного порядка, а множество натуральных чисел–линейно упорядоченным множеством.
