пользователей: 21276
предметов: 10469
вопросов: 178036
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ


СЛОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И ЕГО СВОЙСТВА. ТЕОРЕМА О СУЩЕСВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ

Определение:  Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, которая каждой паре натуральных чисел а и b ставит в соответствие число вида (а + b), обладающее свойствами:

1.("а NÎ) а + 1 = а';

2. ("а, b NÎ) а + b' = (а + b)'.

Свойства операции сложения 1 и 2 иногда называют аксиомами и обозначают   А5  и А6. Символически эти свойства можно записать так:

       А5 : ("а NÎ) а + 1= а'

       А6 : ("а, b NÎ)( а + b') = (а + b) '.

Выражение  а + b называется суммой  чисел а и b, а сами числа а и b – слагаемыми.

Значение выражения а + b  называют значением суммы

Т3. Сложение натуральных чисел существует и определено однозначно.

Формулировка теоремы содержит два утверждения:

1. Сложение натуральных чисел существует;

2.Сложение натуральных чисел единственно

 

Докажем единственность операции сложения

Предположим, что в множестве N существуют две операции сложения, обладающие свойствами(аксиомами) 1 и 2. Первую операцию сложения обозначим «+», а вторую «*»

По определению операции сложения имеем, что каждая обладает свойствами (аксиомами 5,6):

1) a+1=a'

1)a*1=a'

2)a+b‘=(a+b)'

2) a*b‘=(a*b)'

Докажем, что для любых натуральных a и b  a+b=a*b (1)

Пусть число a выбрано произвольно, число b принимает различные натуральные значения.

Обозначим через M множество всех тех и только тех чисел b, для которых равенство  a+b=a*b  (1) истинно.

Сначала убедимся, что 1 содержится в M.

1Î М, так как  a+1=a'=a*1

Затем покажем, что вместе с элементом b следующий за ним также содержится в M.

Доказательство:

Если a+b=a*b – по условию составления множества M,

Заметим, что  (a+b)‘ =(a*b)‘ – по аксиоме 2.

Тогда a+b‘=(a+b)‘=(a*b)‘= a*b‘ 

Вывод:

В множестве M содержится 1;

В множестве M вместе с каждым числом b  содержится следующее за ним число b‘, то множество M Ξ Ν по аксиоме 4.

Следовательно, на множестве N операция сложения определяется единственным образом.

Докажем  существование сложения на множестве натуральных чисел

Доказательство основывается на аксиоме 4.

Пусть множество M состоит из тех и только тех чисел a, для которых можно определить a+b так, чтобы выполнялись свойства 1и 2 (аксиомы5,6).

1. a+1=a‘

2. a+b‘=(a+b)' 

Доказательство:

Доказательство состоит из двух частей;

Часть1. Доказать, что число1 принадлежит множеству M.

Часть2. Доказать, что  вместе с элементом а во множестве M содержится и следующий за ним элемент a'

 

Часть1. Докажем, что 1Î М

Для доказательства воспользуемся леммой; 1+b=b‘  (2).

1) Рассмотрим выражение a+1 при a=1.

Имеем:  1+1=1‘ (на основании равенства 2)

Вернувшись к нашему выражению можно сказать, что a+1=a‘ (выполняется свойство 1 (аксиома 5))

2) Рассмотрим выражение a+b‘ при a=1.

Имеем 1+b‘=(b')‘=(1+b)‘- на основании равенства 2.

Значит a+b‘ = (a+b)‘ при a=1.

Следовательно (выполняется свойство 2 (аксиома 6)).

Часть 2.  Докажем, что  вместе с элементом а во множестве M содержится и следующий за ним элемент a'

Для доказательства воспользуемся леммой: a‘+b= (a+b)‘  (3).

По аксиоме 2 за элементом (a+b) непосредственно следует (a+b)‘

Док-во:

Докажем, что элемент a‘ принадлежит множеству M.

1) a‘ +1=(a+1)‘ –по лемме 3;

(a+1)‘=(a‘)‘.

Значит, a‘ +1 =(a‘)‘ – свойство 1(аксиома5) выполняется.

2)a‘+b‘ = (a+ b‘)‘ –по лемме 3

(a+ b‘)‘ = ((a+b)‘)‘- по свойству элементов множества M

 ((a+b)‘)‘ = (a‘+b)‘ -  по лемме 3.

Значит, a‘+b‘= (a‘+b)‘-выполняется свойство 2 (аксиома6)

Вывод: множество M содержит число 1 и вместе с каждым элементом a содержит число a‘.

На основании аксиомы 4 можно утверждать, множество MΞΝ.

Значит, операция сложения натуральных чисел существует на всем множестве натуральных чисел.        

                          Ч.Т.Д.

Свойства операции сложения

1. Ассоциативность сложения

("а, b,сNÎ)  + b) + с =а + (b + с) = а+b+ с 

Док-во:

Пусть натуральные числа a и b выбраны произвольно, а  c принимает различные натуральные значения.

Обозначим через M множество всех тех и только тех натуральных чисел c, для которых выполняется равенство  (a+b)+c=a+(b+c).

1. Докажем, что 1Î М

Действительно при c=1 имеем (a+b)+1=(a+b)‘=a+b‘=a+(b+1).

Значит (a+b)+1= a+(b+1).

Следовательно, 1Î М

2. Докажем, что если сÎ М, то и с' Î М

Действительно: (a+b)+c‘ = ((a+b)+c)'

 ((a+b)+c)‘= (a+(b+c))‘ = (a+(b+c)‘) = (a+(b+c‘).

Значит с' Î М.

Вывод:

Согласно аксиоме 4 множество M совпадает со множеством N.

Следовательно ассоциативный закон имеет место для всех  натуральных чисел.  ч.т.д.

2.Коммутативность сложения

("а, b NÎ) а + b =b + а

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

3. Сократимость сложения

("а, bNÎ)

 а = b < =>  а + с = b + с;

4. Сумма двух любых натуральных чисел не равна ни одному из слагаемых.

 

 

Таблица сложения:

a+1

a+2

a+3

a+4

1+1=1‘=2

1+2=1+1‘=(1+1)‘=2‘=3

1+3=1+ 2‘=

=(1+2)‘=3‘=4

1+4=

2+1=2‘=3

2+2=2+1‘=

=(2+1)‘=3’=4

2+3=….

2+4=

3+1=3‘=4

3+2=….

3+3=….

3+4=

 


29.03.2015; 12:39
хиты: 1117
рейтинг:+1
Точные науки
математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь