пользователей: 21219
предметов: 10452
вопросов: 177398
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ


СУЩНОСТЬ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Теория натурального числа:

1. Отношение на множестве

2. Некоторые исходные (неопределенные) понятия

3. Формулирование аксиомы

4. Формулирование и рассмотрение других понятий. Они доказываются. Умозаключение называется теорией.

Структура аксиоматической теории натуральных чисел.

  • Отношение на множестве. «Непосредственно следовать за».
  • Основные неопределяемые понятия: множество, правило логики.
  • Аксиомы (4 аксиомы Дж. Пеано)
  • Определение понятий, не входящих в состав основных, например, понятие «натуральное число».
  • Теоремы

 

Об аксиоматическом способе построении теории.

Правила (согласуются с тем, что написано выше):

Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения.

Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение, в нем разъясняется его  смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий.

Формулируются аксиомы – предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий.

Каждое предположение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предположения называются теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшесвующих рассматриваемых.

Основные неопределяемые понятия:

1. Отношение «непосредственно следовать за» на непустом множестве N (не позволяет упорядочить множество натуральных чисел).

2. Понятие множества; элементы множества и др.

3. Правила логики.

ЭЛЕМЕНТ, НЕПОСРЕДСВЕННО СЛЕДУЮЩИЙ ЗА ЭЛЕМЕНТОМ А, ОБОЗНАЧАЕТСЯ А´.

Аксиомы Дж. Пеано.

А1.

В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Этот элемент называют единицей и обозначают символом 1.

А1: (1∈ N) (∀а∈ N), а´ ≠ 1.

А2. Аксиома о следующем элементе.

Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а´, непосредственно следующий за ним.

А2: (∀а∈ N) (∃!∈ N), а´ = b).

А3. О предшествующем элементе.

Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

А3: (∀а, b, с ∈ N), с = а´ ∧ c = b´ ⇒ a=b.

А4. Аксиома индукции.

Всякое подмножество М множества N, обладающее свойствами

1) 1∈ M, 2) из того, что элемент а ∈M,  следует, что а´ ∈ М,

совпадает с множеством N.

А4. М⊂N ∧1∈M ∧(a∈M ⇒ a´ ∈M) ⇒ M=N.

Требования к системе аксиом:

  • Непротиворечивость
  • Независимость
  • Полнота.

 


29.03.2015; 12:38
хиты: 912
рейтинг:0
Точные науки
математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь