+/- (U1-U2+U3-U4..)
Теорема Лейбница:
Если в з/ч ряде абсолютные величины членов ряда убывают, и общий их член →0, то ряд сходится, причем его сумма по общей величине меньше первого члена ряда, а остаток ряда по модулю меньше первого из отбрасываемых членов. Док-во. Рассмотрим частичную сумму ряда с номером 2N: .png)
и заметим, что .png)
.png)
,
т.к. по условию 1 имеем нер-во: .png)
. .png)
.
Все слагаемые в круглых скобках, а также C2N, по условию 1 >0и, значит, . Послед-сть не убывает и ограничена сверху. Значит, существует предел . . Осталось доказать, что . и так как по условию 2 , .
Вернемся к , и . По теореме Лейбница этот ряд сходится.
