Понятие системы линейных уравнений (СЛУ). Понятие решения СЛУ. Совместные и несовместные СЛУ. Определенные и неопределенные СЛУ. Запись СЛУ

Понятие системы линейных уравнений (СЛУ)

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}$

где x - неизвестные переменные системы, a - коэффициенты при неизвестных х, b - свободные члены.

Понятие решения СЛУ

Решением СЛУ называют упорядоченный набор чисел (α₁,α₂,..α_n), при подстановке которых в СЛУ вместо x_j получаются верные числовые равенства.

Совместные и несовместные, определённые и неопределённые СЛУ

СЛУ совместная и несовместная (нет решения)

совместная: определённая (1 решение), неопределённая (множество решений)

Запись СЛУ в матричной форме.

AX=B,

где

$lect2.94.jpg$ основная матрица системы

$lect2.95.jpg$ — столбец неизвестных

$lect2.96.jpg$ — столбец свободных членов

Матричный метод решения СЛУ

Основная матрицы системы - квадртная невырожденная.

AX=B

умножим матричное равенство слева на А^-1получим:

A^-1AX=A^-1B => X=A^-1B

Доказательство формул Крамера.

Основная матрицы системы - квадратная невырожденная. Неизвестные системы находят по формуле

X_j= $\Delta$ _j/ |A| , где $\Delta$ _j - определители,полученные из определителя матрицы А заменой j-того столбца на столбец B.