Отрезком N натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а, т.е N = {х|х N и х а}.
Например, N это множество натуральных чисел, не превосходящих 7, т.е. N ={1,2,3,4,5,6,7}.
Отметим два важнейших свойства отрезков натурального ряда:
1) Любой отрезок N содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка натурального ряда.
2) Если число х содержится в отрезке N и х а, то непосредственно следующее за нми число х+1 также содержится в N .
Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку N натурального ряда. Например, множество А вершин треугольника, множество В букв в слове «мир» конечные множества, т.к. они равномощны отрезку N = {1,2,3}, т.е. А~B~ N .
Если непустое конечное множество А равномощно отрезку N , то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут n(A) = a. Например, если А – множество вершин треугольника, то n(A) = 3.
Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда, т.е.каждому конечному множеству А может быть поставлено в соответствие однозначно определенное число а, такое, что множество А взаимно однозначно отображается на отрезок N .
Установление взаимно-однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А. Так как любому непустому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств разбивается на классы равномощных множеств. В одном классе будут содержаться все одноэлементные множества, в другом – двухэлементные и т.д. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения, натуральное число – это общее свойство класса конечных равномощных множеств.
Число 0 тоже имеет теоретико-множественное истолкование – оно ставится в соответствие пустому множеству: n( ) = 0.
Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций:
1) как число элементов в множестве А, получаемое при счете;
2) как общее свойство класса конечных равномощных множеств.
Установленная связь между конечными множествами и натуральными числами позволяет дать теоретико-множественное истолкование отношения «меньше».
Если а = n(А), b = n(B), то число а меньше числа b тогда и только тогда, когда множество А равномощно собственному подмножеству множества В, т.е. А~В , где В В, В В, В (рис.1) . Либо когда отрезок натурального ряда N является собственным подмножеством отрезка N , т.е. N N .
Числа а и b равны, если они определяются равномощными множествами: а = k А~B , где n(A) = a, n (B ) = k. Например, 2 = 2, т.к. n(А) = 2, n(B) = 2, А = {a, b}, B = {z, x}, A~B.
Свойства отношения «меньше» для натуральных чисел также получают теоретико-множественное истолкование: транзитивность и антисимметричность этого отношения связаны с тем, что транзитивно и антисимметрично отношение «быть подмножеством».
Покажем, используя теоретико-множественную трактовку отношения «меньше» для натуральных чисел, что 2<5.
Возьмем множество А, содержащее 2 элемента и множество В, содержащее 5 элементов, т.е. n(А) = 2, n(B) = 5. Например, А = {a, b}, B = {c, d, e, f, r}. Из множества B можно выделить подмножество В , равномощное множеству А: например В ={c, d} и А~В . Согласно определению отношения «меньше», 2<5.
Справедливость данного неравенства вытекает и из того, что N
Данное неравенство можно рассмотреть на рисунке 2. Пусть 2 – это число кружков, а 5 – число квадратов. Если наложить кружки на квадраты, то увидим, что часть квадратов осталось незакрытыми.
Значит, количество кружков меньше количества квадратов, т.е. 2<5.
Теоретико-множественный смысл неравенства 0<а, истинного для любого натурального а, связан с тем, что пустое множество является подмножеством отрезка N .
Сравнение чисел в начальном курсе математики осуществляется различными способами – оно основано на всех рассмотренных нами подходах к трактовке отношения «меньше».
