Дифференциальное уравнение первого порядкаdydx=f(x,y)называется однородным, если правая часть удовлетворяет соотношениюf(tx,ty)=f(x,y)для всех значений t. Другими словами, правая часть должна являться однородной функцией нулевого порядка по отношению к переменным x и y:f(tx,ty)=t0f(x,y)=f(x,y).Однородное дифференциальное уравнение можно также записать в видеy′=f(xy),или через дифференциалы:P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,где P(x,y) и Q(x,y) − однородные функции одинакового порядка.
Определение однородной функции
Функция P(x,y) называется однородной функцией порядка n, если для всех t>0 справедливо следующее соотношение:P(tx,ty)=tnP(x,y).
Решение однородных дифференциальных уравнений
Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки y=ux, которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение вида(a1x+b1y+c1)dx+(a2x+b2y+c2)dy=0преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными посредством переноса начала системы координат в точку пересечения прямых линий, заданных в уравнении. Если указанные прямые параллельны, то дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены переменной:z=ax+by.
Неоднородное дифференциальное уравнение — дифференциальное уравнение (обыкновенное или в частных производных), которое содержит не равный тождественно нулю свободный член — слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.
Обычно имеет те же свойства, что и соответствующее однородное уравнение — уравнение с отброшенным свободным членом.
В физике часто называют свободный член «неоднородностью» или «возмущением», а соответствующее решение — «возмущённым». Если уравнение представляет собой закон колебаний, то в случае неоднородных уравнений говорят о вынужденных колебаниях.
Алгоритм решения
Решение задачи анализа в системе, поведение которой описывается неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами:
- Решается соответствующее однородное дифференциальное уравнение (путём обнуления свободного члена). В частности, если оно представляет собой линейное:
- По виду однородного дифференциального уравнения записывается характеристическое уравнение
- Определяются корни характеристического уравнения
- По виду корней характеристического уравнения записывается общее решение однородного дифференциального уравнения
- По виду правой части неоднородного дифференциального уравнения подбирается его частное решение — «вынужденная» составляющая решения исходного неоднородного дифференциального уравнения
- Записывается полное решение неоднородного дифференциального уравнения, которое представляет собой сумму общего решения однородного дифференциального уравнения и вынужденную составляющую решения неоднородного дифференциального уравнения с неизвестными постоянными интегрирования.
- Если требуется, из начальных условий определяются постоянные интегрирования
Метод вариации постоянных
Если общее решение y0 ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных.
Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:y0(x)=C1Y1(x)+C2Y2(x).Вместо постоянных C1 и C2 будем рассматривать вспомогательные функции C1(x) и C2(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решениеy=C1(x)Y1(x)+C2(x)Y2(x)удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f(x).
Неизвестные функции C1(x) и C2(x) определяются из системы двух уравнений:C′1(x)Y1(x)+C′2(x)Y2(x)=0C′1(x)Y′1(x)+C′2(x)Y′2(x)=f(x).
