Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида 
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = f(x), 
где y = y(x) — неизвестная функция, 
a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x),  f(x) — известные функции, которые будем полагать непрерывными на промежутке (a, b).

Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n -го порядка: 
L(y) = y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y . 
Уравнения 
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = 0 и 
y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = f(x),  f(x) № 0, 
называются соответственно однородным и неоднородным линейным дифференциальным уравнением n -го порядка.

Будем записывать однородное и неоднородное линейные дифференциальные уравнения в виде: 
L(y) = 0 и L(y) = f(x).

Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных уравнений: 
а) Если  y1(x) и y2(x) — два решения однородного линейного уравнения L(y)=0, то их линейная комбинация y(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x)
при любых постоянных c1, c2   является решением однородного уравнения. 
б) Если y1(x) и  y2(x) — два решения неоднородного линейного уравнения 
L(y) = f(x), то их разность y(x) = y1(x) - y2(x)
является решением однородного уравнения L(y) = 0. 
в) Любое решение неоднородного линейного уравнения L(y) = f(x) есть сумма частного (фиксированного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.

СТРУКТУРА

Рассмотрим на [a; b] линейное однородное дифференциальное уравнение

y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0.

Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C1,..., Cn ), зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn и удовлетворяющая следующим условиям :

− при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = Φ(x, C1,..., Cn ) является решением уравнения на [a; b] ;

Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения).

Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y1(x),y2(x),..., yn(x) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения, то общее решение уравнения имеет вид

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x),

где C1,...,Cn — произвольные постоянные.

Итак, как указано выше, общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка является линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y1(x),y2(x) этого уравнения. 

Очевидно, что частные решения зависят от коэффициентов дифференциального уравнения. Формула Лиувилля-Остроградского устанавливает связь между вронскианом W(x), построенном на базе частных решений y1(x),y2(x), и коэффициентом a1(x) в дифференциальном уравнении. 

Пусть W(x) − определитель Вронского решений y1(x),y2(x) линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядкаy′′+a1(x)y′+a2(x)y=0,в котором функции a1(x) и a2(x) непрерывны на отрезке [a,b]. Пусть точка x0 принадлежит отрезку [a,b]. Тогда для всех x∈[a,b] справедлива формула Лиувилля-Остроградского: