α1y1(x) + α2y2(x) + ... + αnyn(x) = 0
для всех x из отрезка [a;b].
В противном случае функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) называются линейно независимыми.
Линейную зависимость и линейную независимость функций определяют также на (a;b) , (a;b] , [a;b) , на бесконечных промежутках.
Справедливо следующее утверждение.
Функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией других на этом отрезке .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРОНСКОГО
Определителем Вронского W(x; y1(x), y2(x), ..., yn(x)) называется определитель, первая строка которого образована функциями y1(x), y2(x), ..., yn(x) из Cn-1[a, b] , а последующие строки образованы производными от функций предыдущей строки:
Справедливо следующее необходимое условие линейной зависимости функций.
Если функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейно зависимы на отрезке [a;b], то их определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке:W(x; y1(x), y2(x), ..., yn(x)) ≡ 0 на [a;b].
Важно понимать, что обратное утверждение неверно. Определитель Вронского линейно независимой системы функций может быть тождественно равен нулю.
Однако, если определитель Вронского системы функций на некотором отрезке отличен от тождественного нуля, то система функций линейно независима на этом отрезке.
