Уравнения допускающие понижение порядка

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в видеF(x,y,y′,y′′)=0,где F − заданная функция указанных аргументов.

Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y′′, то его можно представить в следующем явном виде:y′′=f(x,y,y′).В частных случаях функция f в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такиенеполные уравнения включают в себя 5 различных типов:y′′=f(x),y′′=f(y),y′′=f(y′),y′′=f(x,y′),y′′=f(y,y′).С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка.

В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией. Ниже мы обсудим 2 типа таких уравнений (случаи 6 и 7):

Функция F(x,y,y′,y′′) является однородной функцией аргументов y,y′,y′′;
Функция F(x,y,y′,y′′) является точной производной функции первого порядка Φ(x,y,y′).

Понижение порядка уравнения не содержащего явно независимую переменную

Если в результате каких–либо преобразований порядок n уравнения F(x, y, y ',..., y(n) ) = 0 может быть понижен, то говорят, что уравнениедопускает понижение порядка.

К уравнениям, допускающим понижение порядка, относятся уравнения, не содержащие независимой переменной — уравнения вида F(y, y', ...,y(n)) = 0.

Порядок уравнения можно понизить заменив y ' = p(y).

После подстановки получим дифференциальное уравнение относительно функции p = p(y) , в котором порядок старшей производной от p(y)будет на единицу меньше, чем порядок старшей производной от y(x) в исходном уравнении.

Этот метод интегрирования системы дифференциальных уравнений

dx/kdt=fk(t,x1,x2,…,xn),k=1,2,…,n

(1)

состоит в следующем: с помощью проходящих арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) из уравнений системы (I) образуют так называемые интегрируемые комбинации, т.е. достаточно просто решаемые уравнения вида

F(t,u,duя/dt)=0,

где

— некоторая функция от искомой функции

x1(t),x2(t),…,xn(t)x1(t),x2(t),…,xn(t)

. Каждая интегрируемая комбинация дает один первый интеграл. Если найдено

независимых первых интегралов системы (1), то ее интегрирование закончено; если же найдено

независимых первых интегралов, где

m<nm<n

, то система (1) сводится к системе с меньшим числом неизвестных функций.

Уравнения допускающие понижение порядка

​Понижение порядка уравнения не содержащего явно независимую переменную

Понижение порядка уравнения не содержащего явно независимую переменную