Уравнение Бернулли

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

$y'+a(x)y=b(x)y^{n},\quad n\neq 0,\,1$

называется уравнением Бернулли при $n=0$ или $n=1$ получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).

При $n=2$ является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году.

Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.

Метод решения

Первый способ

Разделим все члены уравнения на

$y^{n},$

получим

${\frac {dy}{dx}}\!y^{-n}+a(x)y^{1-n}=b(x).$

Делая замену

$z=y^{1-n}$

и дифференцируя, получаем:

${\frac {dz}{dx}}=(1-n)y^{-n}{\frac {dy}{dx}}.$

Это уравнение приводится к линейному:

${\frac {dz}{dx}}+(1-n)a(x)z=(1-n)b(x)$

и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ

Заменим

$y=uv,$

тогда:

${\dot {u}}v+u({\dot {v}}+a(x)v)=b(x)(uv)^{n}.$

Подберем $v(x)\not \equiv 0$ так, чтобы было

${\dot {v}}+a(x)v=0,$

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения {\displaystyle u} $u$ получаем уравнение ${\frac {{\dot {u}}}{u^{n}}}=b(x)v^{{n-1}}$ — уравнение с разделяющимися переменными.