Дифференциальное уравнение вида
y′+a(x)y=f(x),где a(x) и f(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:
-
Использование интегрирующего множителя;
-
Метод вариации постоянной.
Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:
y′+a(x)y=f(x),то интегрирующий множитель определяется формулой:
u(x)=exp(∫a(x)dx).Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x).
Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде:
y=∫u(x)f(x)dx+Cu(x),где C − произвольная постоянная.
Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:y′+a(x)y=0.Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x).
Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату.
