пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

Отрицание высказывания и высказывательных форм.

Пусть предложение А – высказывание. Если перед сказуемым данного предложения поставить частицу «не» либо перед всем предложением поставить слова «неверно, что», то получится новое предложение, которое называется отрицанием данного и обозначается Ā (читают: «не А» или «неверно, что А).

Определение. Отрицанием высказывания А называется высказывание Ā, которое ложно, когда высказывание А истинно, и истинно, когда высказывание А – ложно.

Таблица истинности отрицания имеет вид:

А Ā
и л
л и  

Из данного определения следует, что предложение и его отрицание не могут быть ни одновременно истинны, ни одновременно ложны.

Построим отрицание ложного высказывания «число 28 делится на 9:

А) Число 28 не делится на 9.

Б) Неверно, что число 28 делится на 9.

Высказывания, которые мы получили, истинные. Значит, отрицание данного предложения построено правильно.

Рассмотрим теперь правила построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции высказываний. Если перед всем составным высказыванием поставим слова «неверно, что», то, безусловно, получим его отрицание. А как быть с частицей «не»? Можно ли поставить перед сказуемым составного предложения и получить его отрицание? На примере можно показать, что нельзя.

image016.gifimage016.gifimage017.gifМожно доказать, что отрицанием конъюнкции двух высказываний А и В является дизъюнкция их отрицаний. Для этого надо убедиться в том, что значения истинности высказываний вида А∧В и А∨ В совпадают при любых значениях истинности высказываний А и В. Сделать это можно при помощи таблицы истинности:

 

 

  А   В   А∧В   image018.gifА∧В image019.gif А image020.gif В   image021.gifimage022.gifА∨ В
и и и л л л л
и л л и л и и
л и л и и л и
л л л и и и и

image023.gifimage023.gifimage024.gif

Про высказывания вида А∧В и А∨ В говорят, что они равносильны, и пишут

image023.gifimage023.gifimage025.gifА∧В ⇔ А ∨ В.

Аналогично можно доказать, что имеет место равносильность

image023.gifimage023.gifimage025.gifА∨В ⇔ А ∧ В.

Эти равносильности носят название законов де Моргана.

Из них вытекает следующее правило построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции: чтобы построить отрицание конъюнкции (дизъюнкции), достаточно заменить отрицаниями составляющие ее высказывания, а союз «и» («или») заменить союзом «или» («и).

Задача 1. Построить отрицание высказывания «число 28 делится на 9 или на 6».

1 способ: «неверно, что число 28 делится на 9 или на 6».

2 способ: воспользуемся законом де Моргана: «число 28 не делится на 9 и не делится на 6».

Как быть, если высказывания содержат кванторы? Строить отрицания высказываний при помощи частицы «не» перед сказуемым нельзя. Остается другой путь – перед всем предложением ставим слова «неверно, что». Например, дано высказывание всякий прямоугольный треугольник является равнобедренным». Его отрицанием будет высказывание «неверно, что всякий прямоугольный треугольник является равнобедренным». Это предложение имеет тот же смысл, что и предложение «некоторые прямоугольные треугольники не являются равнобедренными».

Отрицанием высказывания «некоторые прямоугольные треугольники не являются равнобедренными» является высказывание «неверно, что некоторые прямоугольные треугольники не являются равнобедренными», которое имеет тот же смысл, что и предложение «все прямоугольные треугольники не являются равнобедренными».

Вообще, если дано предложение ∀(х) А(х), то его отрицанием будут предложения

image024.gifimage026.gif(∀х) А(х) и (∃х) А(х), имеющие один и тот же смысл (и одно и то же значение истинности).

image026.gifЕсли дано предложение (∃х) А(х), то его отрицанием будут предложения (∃х) А(х) и

image027.gif(∀х) А(х), также имеющие один и тот же смысл (и одно и то же значение истинности).

Получаем две равносильности:

 

       
  image028.gif   image027.gif

 

 

(∀х) А(х) ⇔ (∃х) А(х);

 

       
  image029.gif   image030.gif

 

 

(∃х) А(х) ⇔ (∀х) А(х),

Из них вытекает правило: для того чтобы построить отрицание высказывания, начинающегося с квантора общности (существования), достаточно заменить его кантором существования (общности) и построить отрицание предложения, стоящего после квантора.

Задача 2. Построить отрицание высказывания «некоторые однозначные числа делятся на 10».

1) «неверно, что некоторые однозначные числа делятся на 10»

2) «все однозначные числа не делятся на 10».

Последнее, о чем пойдет речь, - это отрицание высказывательных форм.

image030.gifПусть на множестве Х задана высказывательная форма А(х). Ее отрицание

 

 
  image031.gif

 

 

обозначим А(х) (читают: «не А(х) или неверно, что А(х)». Предложение А(х) будет обращаться в истинное высказывание лишь при тех значениях х из множества Х, при которых А(х) – ложно. Таким образом, Т Ā = Т´ А – множество истинности предложения

image024.gif

 

А(х), а Т ´ А – дополнение множества Т А до множества Х.

Доказательство этого равенства мы опускаем.

Пусть, например, на множестве натуральных чисел задана высказывательная форма А(х) – «число х кратно 5». Тогда ее отрицанием будет предложение «число х не кратно 5» (или «неверно, что число х кратно 5»), истинное при всех значениях х, которые не кратны 5.

 


14.01.2015; 20:33
хиты: 88
рейтинг:0
Точные науки
математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь