Система счисле́ния — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен Система называется позиционной, если значение каждой цифры (ее вес) изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число.
Число единиц какого-либо разряда, объединяемых в единицу более старшего разряда, называют основанием позиционной системы счисления. Если количество таких цифр равно P, то система счисления называется P-ичной. Основание системы счисления совпадает с количеством цифр, используемых для записи чисел в этой системе счисления.
Запись произвольного числа x в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена
x = anPn + an-1Pn-1 + ... + a1P1 + a0P0 + a-1P-1 + ... + a-mP-m
· 2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании);
· 3 — троичная;
· 8 — восьмеричная;
· 10 — десятичная (используется повсеместно);
· 12 — двенадцатеричная (счёт дюжинами);
В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.
Непозиционная — самая древняя, в ней каждая цифра числа имеет величину, не зависящую от её позиции (разряда). То есть, если у вас 5 черточек — то число тоже равно 5, поскольку каждой черточке, независимо от её места в строке, соответствует всего 1 один предмет.
2. Представление чисел в разных системах счисления
В общем случае в позиционной системе с основанием P имеется ровно P разных цифр в диапазоне от 0 до P-1. Так в десятичной системе счисления используется 10 цифр: от 0 до 9. В двоичной – всего две цифры 0 и 1, а в шестнадцатеричной – 16 цифр. Поскольку обычных цифр для шестнадцатеричной системы недостаточно, то для цифр после 9 используются буквы латинского алфавита от A до F.
Общий вид представления числа в позиционной системе счисления с основанием P следующий:
anPn + an-1Pn-1 + … + a1P1 + a0P0 (1)
где ai – цифра в диапазоне от 0 до P-1. Напомним, что любое положительное число в нулевой степени равно 1.Вот как записываются числа в разных системах счисления:
3542210
3*104 + 5*103 + 4*102 + 2*101 + 2*100
17AC916
1*164 + 7*163 + A*162 + C*161 + 9*160
100112
1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20
В дальнейшем для работы нам потребуется таблица соответствия десятичных, шестнадцатеричных и двоичных цифр.
