Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит:
Пусть группа G конечна и H — её подгруппа. Тогда порядок G равен порядку H, умноженному на количество её левых или правых классов смежности (индекс). |
Следствия
- Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы в одинаково и называется индексом подгруппы в (обозначается ).
- Порядок любой подгруппы конечной группы делит порядок .
- Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы делит порядок . Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел.
- Группа порядка , где — простое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок , и значит, каждый из них порождает группу.)