15 билет(1)

Рассмотрим СЛАУ

(3.17)

Запишем расширенную прямоугольную матрицу коэффициентов системы

(3.17):

. (3.18)

Среди элементов матрицы

a_ij (i,j = 1, ...n) выберем наибольший по модулю, называемый главным элементом. Пусть им будет, например, элемент a_pq. Строка, содержащая главный элемент, называется главной строкой.

Далее вычисляем множители

m_i = a_iq/ a_pq для всех i неравных p.Затем преобразуем матрицу (3.18) следующим образом: из каждой i-ой неглавной строки вычитаем почленно главную строку, умноженную на m_i. В результате получим матрицу, у которой все элементы q-го столбца за исключением a_pq, равны 0. Отбрасывая этот столбец и главную строку, получим новую матрицу M₁ с числом строк и столбцов на 1 меньше.

Над матрицей М

₁ повторяем те же операции, после чего получим матрицу M₂ и т.д. Таким образом продолжаем до тех пор, пока не получим матрицу, содержащую одну строку из двух элементов, которую тоже считаем главной.

Затем объединим все главные строки, начиная с последней. После некоторой перестановки они образуют треугольную матрицу, эквивалентную исходной. На этом заканчивается этап вычислений, называемый прямым ходом. Решив систему с полученной треугольной матрицей коэффициентов, найдём последовательно значения неизвестных

x_i(i = 1, 2, ..., n). На этом заканчивается обратный ход.

Смысл выбора главного элемента состоит в том, чтобы сделать возможно меньшими числа

m_i и тем самым уменьшить погрешность вычислений.

Пример. Решить систему уравнений.

$left{ begin{array}{rrrl} a_{11}x_1 +&a_{12}x_2+&a_{13}x_3=&b_1 \ a_{21}x_1 +&a_{22}x_2+&a_{23}x_3=&b_2 \ a_{31}x_1 +&a_{32}x_2+&a_{33}x_3=&b_3 end{array} right.$

Решение. Начинаем действовать так же, как и в предыдущем примере. Пусть $a_{11}^{} ne 0$ .Тогда прямым ходом метода Гаусса исключаем из второго и третьего уравнений переменную $x_{2}$ :

$left{ begin{array}{rrrl} a_{11}x_1 +&a_{12}x_2+&a_{13}x_3=&b_1 \ & & & \ &left(a_{22}- frac{a_{21}}{a_{11}}a_{12}right)x_2+&left(a_{23}- frac{a_{21}}{a_{11}}a_{13} right)x_3=&b_2 - b_1 frac{a_{21}}{a_{11}} \ & & & \ &left(a_{32}- frac{a_{31}}{a_{11}}a_{12} right)x_2+&left(a_{33} - frac{a_{31}}{a_{11}}a_{13} right)x_3=&b_3 - b_1 frac{a_{31}}{a_{11}} end{array} right.$

Коэффициент при $x_{2}$ во втором уравнении был обозначен нами в предыдущем пункте через $a_{22}^{[1]}$ :

$a_{22}^{[1]}=frac{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}{a_{11}} .$

Если теперь $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}^{} ne 0$ , то можно исключить переменную $x_{2}$ из последнего полученного уравнения:

$frac{a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13} -a_{31}a_{22}a_{13} -a_{21}a_{12}a_{33} -a_{11}a_{32}a_{23}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}, x_3=$

$=frac{a_{11}a_{22}b_{3}+a_{12}a_{31}b_2+a_{21}a_{32}b_1 -a_{31}a_{22}b_1 -a_{11}a_{32}b_{2} -a_{21}a_{12}b_3}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} .$

Коэффициент при $x_{3}$ в этом уравнении был обозначен в предыдущем пункте через $a_{33}^{[2]}$ . Если выражение

$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13} -a_{31}a_{22}a_{13} -a_{21}a_{12}a_{33} -a_{11}a_{32}a_{23}$

отлично от нуля, то последнее уравнение системы однозначно разрешимо относительно $x_{3}$ :

$x_3=frac{a_{11}a_{22}b_{3}+a_{12}a_{31}b_2+a_{21}a_{32}b_1 -a_{31}a_{22}b_1 -a_{11}a_{32}b_{2} -a_{21}a_{12}b_3}{a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13} -a_{31}a_{22}a_{13} -a_{21}a_{12}a_{33} -a_{11}a_{32}a_{23} } .$

Подставляем найденное значение в уравнение

$left(a_{22}- frac{a_{21}}{a_{11}}a_{12}right)x_2+left(a_{23}- frac{a_{21}}{a_{11}}a_{13} right)x_3=b_2 - b_1 frac{a_{21}}{a_{11}} ,$

получаем:

$x_2=frac{a_{11}a_{33}b_{2}+a_{21}a_{13}b_3+a_{31}a_{23}b_1 -a_{13}a_{31}b_2 -a_{11}a_{23}b_{3} -a_{21}a_{33}b_1}{a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13} -a_{31}a_{22}a_{13} -a_{21}a_{12}a_{33} -a_{11}a_{32}a_{23} } .$

Наконец, подставляя найденные значения для $x_{2}$ и $x_{3}$ в первое уравнение системы, находим значение $x_{1}$ :

$x_1=frac{a_{22}a_{33}b_{1}+a_{12}a_{23}b_3+a_{32}a_{13}b_2 -a_{13}a_{22}b_3 -a_{32}a_{23}b_{1} -a_{12}a_{33}b_2}{a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13} -a_{31}a_{22}a_{13} -a_{21}a_{12}a_{33} -a_{11}a_{32}a_{23} } .$

Ответ. При условиях

$a_{11}ne 0, a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} ne 0,$

$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13} -a_{31}a_{22}a_{13} -a_{21}a_{12}a_{33} -a_{11}a_{32}a_{23} ne 0$

система имеет единственное решение.

Итак, мы получили общие формулы решения системы уравнений. Правда, мы разобрали пока только случай единственности решения. Условия существования единственного решения получились в виде набора неравенств на коэффициенты $a_{jk}^{}$ системы. Оказывается, что не все эти неравенства являются существенными для единственности, можно доказать, что необходимым и достаточным в каждом примере является последнее полученное неравенство: для системы