Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) утверждает, что
|
Если вещественная функция, непрерывная на отрезке |
![[a; b]](http://upload.wikimedia.org/math/9/4/a/94acf62f087ab3268b2b3fa5a8a7a79c.png)
и 
, принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой
Доказательство
Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.
Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.
