14 билет(1)

Свойство 1.

Если y = y₁(x) – частное решение однородного уравнения

y⁽ⁿ⁾ + a₁ y^(n-1) + a₂ y^(n-2)+...+a_n y = 0, (2)

то функция y = cy

₁(x) (где с = const) тоже является частным решением этого ДУ.

Свойство легко доказывается непосредственной подстановкой этой функции в ДУ (2):

cy⁽ⁿ⁾ + a₁ cy^(n-1) + a₂ cy^(n-2)+...+a_n cy = c (y⁽ⁿ⁾ + a₁ y^(n-1) + a₂ y^(n-2)+...+a_n y) = 0.

Таким образом, зная одно частное решение, мы можем получить целое семейство решений.

Свойство 2.

Если y = y₁(x) и y = y₂(x) – частные решения ДУ (2), то их линейная комбинация

y = c

₁y₁+c₁y₂ (c₁, c₂ – произвольные константы) также является решением ДУ (2).

И вообще, если y = y₁(x) , y = y₂(x), … , y = y_m(x) – частные решения ДУ (2), то функция, где c_i– произвольные константы, также является частным решением ДУ (2) (это свойство также доказывается непосредственной подстановкой).
 

Определение 1.

Функции y₁(x), y₂(x), … , y_n(x) называются линейно зависимыми на отрезке [ а, b ] , если существуют действительные числа m₁, m₂, … , m_n не все равные нулю, такие, что для всех х [ а, b ] выполняется тождество

и называются линейно независимыми

, если тождество выполняется лишь в случае, когда m₁= m₂= … = m_n = 0.

Практически определить линейную зависимость или независимость частных решений y₁, y₂, … , y_n ДУ можно, используя определитель Вронского (Вронскиан):

.

В случае линейной зависимости функций y₁, y₂, … , y_n определитель Вронского тождественно равен нулю, в случае их линейной независимости – определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке отрезка [ а, b ] .

Определение 2.

Система функций y₁(x), y₂(x), … , y_n(x) называется фундаментальной системой решений уравнения (2), если

1. порядок ДУ равен n

1. (числу функций y_i);

2. система этих функций линейно независима

2.