Матиматика, задача

. Она ограничена и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Пусть → c. Так как все ∈ [a, b], то и c ∈ [a, b], значит, f(x) непрерывна в точке c (по условию), поэтому → f(с). С другой стороны, в силу (1) > k_n , и значит, последовательность - бесконечно большая, то есть, эта последовательность расходится. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, f(x) ограничена на [a, b].
(вторая теорема Вейерштрасса) Непрерывная на сегменте функция достигает на этом сегменте своих точных граней.

Доказательство. Проведем доказательство для точной верхней грани. Допустим, что f(x), непрерывная на сегменте [a, b], не принимает ни в одной точке значения

M = f(x), тогда ∀ x ∈ [a, b]: f(x) < M.

Введем функцию: F(x) => 0 и непрерывна на [a, b]. По теореме 7.2, ∃ A > 0, ∀ x∈[a,b] : F(x) =≤ A. ∀ x ∈ [a, b]: f(x) ≤ M - < M.

Но это противоречит тому, что M - наименьшая из верхних граней функции на [a, b]. Полученное противоречие доказывает, что наше предположение неверно и, следовательно, функция достигает на сегменте [a, b] своей точной верхней грани.

Теорема доказана.