пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

12 билет(5)


Определения

Пусть на некотором числовом множестве M in R задана числовая функция f colon M to R и число ~aпредельная точка области определения ~M. Существуют различные определения для односторонних пределов функции ~f left( x right) в точке ~a, но все они эквивалентны.

Односторонний предел по Гейне

  • Число A in R называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции ~f left( x right) в точке ~a, если для всякой последовательности left{ x_n right}_{n = 1}^{infty}, состоящей из точек, больших числа ~a, которая сама сходится к числу ~a, соответствующая последовательность значений функции left{ f left( x_n right) right}_{n = 1}^{infty} сходится к числу ~A. lim_{x to a+} f left( x right) = A Leftrightarrow forall left{ x_n right}_{n = 1}^{infty} colon left( forall k in N colon x_k > a right) land lim_{n to infty} x_n = a Rightarrow lim_{n to infty} left{ f left( x_n right) right}_{n = 1}^{infty} = A
  • Число A in R называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции ~f left( x right) в точке ~a, если для всякой последовательности left{ x_n right}_{n = 1}^{infty}, состоящей из точек, меньших числа ~a, которая сама сходится к числу ~a, соответствующая последовательность значений функции left{ f left( x_n right) right}_{n = 1}^{infty} сходится к числу ~A.[1]lim_{x to a-} f left( x right) = A Leftrightarrow forall left{ x_n right}_{n = 1}^{infty} colon left( forall k in N colon x_k < a right) land lim_{n to infty} x_n = a Rightarrow lim_{n to infty} left{ f left( x_n right) right}_{n = 1}^{infty} = A

Односторонний предел по Коши

  • Число A in R называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции ~f left( x right) в точке ~a, если для всякого положительного числа ~varepsilon отыщется отвечающее ему положительное число ~delta такое, что для всех точек ~x из интервала left( a, a + delta right) справедливо неравенство left| f left( x right) - A right| < varepsilon. lim_{x to a+} f left( x right) = A Leftrightarrow forall varepsilon > 0 ~ exists delta = delta left( varepsilon right) > 0 ~ forall x in left( a, a + delta right) colon left| f left( x right) - A right| < varepsilon
  • Число A in R называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции ~f left( x right) в точке ~a, если для всякого положительного числа ~varepsilon отыщется отвечающее ему положительное число ~delta, такое, что для всех точек ~x из интервала left( a - delta, a right) справедливо неравенство left| f left( x right) - A right| < varepsilon.[1]lim_{x to a-} f left( x right) = A Leftrightarrow forall varepsilon > 0 ~ exists delta = delta left( varepsilon right) > 0 ~ forall x in left( a - delta, a right) colon left| f left( x right) - A right| < varepsilon


 Для того чтобы ограниченная на отрезке [a, b] функция f (x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы image129.gif.
Это условие означает, что для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ (ε) > 0 такое, что при λ < δ выполняется неравенство |S - s| < ε. Так как sS, то последнее неравенство равносильно неравенству S - s < ε.
Доказательство. (Необходимость) Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], т. е. существует определенный интеграл image135.gif. Это означает, что для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ (ε) > 0 такое, что для любого разбиения τ, удовлетворяющего условию λ < δ, независимо от выбора точек ξ i выполняется неравенство

image137.gif.

Зафиксируем любое такое разбиение τ. Для него можно указать такие интегральные суммы σ',σ'', что

image143.gif.

Отметим, что обе интегральные суммы σ',σ'' удовлетворяют неравенству |σ - I| < ε / 4. Из соотношения следует, что S - s < ε.
Достаточность. Пусть выполнено условие S - s < ε. Предположим, что интеграл зависит от способа разбиения и существует два его значения I* и I*. Согласно свойству s ≤ I*I* ≤ S для любых нижних и верхних сумм Дарбу, поэтому 0 ≤ I* - I*S - s, откуда следует, что 0 ≤ I* - I* < ε для любого ε > 0. Значит, I* - I*= 0, т. е. I* = I*. Полагая I = I* = I*, получаем, что для любого разбиения выполняются неравенства s ≤ I ≤ S. Если же интегральная сумма σ и суммы Дарбу s и S отвечают одному и тому же разбиению τ то, как известно, s ≤ σ ≤ S. Из вышесказанного следует, что | σ - I | ≤ S - s. По условию для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что при λ < δ выполняется неравенство S - s < ε. Но тогда имеем, что | σ - I | < ε при λ < δ, а это означает, что число I является пределом интегральной суммы σ при λ → 0, т. е. функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b]. В дальнейшем понадобится другая форма записи необходимого и достаточного условия интегрируемости. Обозначая колебанием M i - mi функции f (x) на отрезке [xi - 1, xi] через ω i, имеем

image162.gif.

Так как M i ≥ m i и Δ хi > 0, то каждое слагаемое в последней сумме неотрицательно, и условие существования определенного интеграла можно переписать так: для любого как угодно малого ε > 0 существует ε = δ (ε) > 0 такое, что image166.gif при λ < δ.


хиты: 182
рейтинг:0
Точные науки
математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь