Определения
Пусть на некотором числовом множестве задана числовая функция и число — предельная точка области определения . Существуют различные определения для односторонних пределов функции в точке , но все они эквивалентны.
Односторонний предел по Гейне
- Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, больших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .
- Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, меньших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .[1]
Односторонний предел по Коши
- Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .
- Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число , такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .[1]
Для того чтобы ограниченная на отрезке [a, b] функция f (x) была интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы .
Это условие означает, что для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ (ε) > 0 такое, что при λ < δ выполняется неравенство |S - s| < ε. Так как s ≤ S, то последнее неравенство равносильно неравенству S - s < ε.
Доказательство. (Необходимость) Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b], т. е. существует определенный интеграл . Это означает, что для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ (ε) > 0 такое, что для любого разбиения τ, удовлетворяющего условию λ < δ, независимо от выбора точек ξ i выполняется неравенство
Зафиксируем любое такое разбиение τ. Для него можно указать такие интегральные суммы σ',σ'', что
.Отметим, что обе интегральные суммы σ',σ'' удовлетворяют неравенству |σ - I| < ε / 4. Из соотношения следует, что S - s < ε.
Достаточность. Пусть выполнено условие S - s < ε. Предположим, что интеграл зависит от способа разбиения и существует два его значения I* и I*. Согласно свойству s ≤ I* ≤ I* ≤ S для любых нижних и верхних сумм Дарбу, поэтому 0 ≤ I* - I* ≤ S - s, откуда следует, что 0 ≤ I* - I* < ε для любого ε > 0. Значит, I* - I*= 0, т. е. I* = I*. Полагая I = I* = I*, получаем, что для любого разбиения выполняются неравенства s ≤ I ≤ S. Если же интегральная сумма σ и суммы Дарбу s и S отвечают одному и тому же разбиению τ то, как известно, s ≤ σ ≤ S. Из вышесказанного следует, что | σ - I | ≤ S - s. По условию для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что при λ < δ выполняется неравенство S - s < ε. Но тогда имеем, что | σ - I | < ε при λ < δ, а это означает, что число I является пределом интегральной суммы σ при λ → 0, т. е. функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b]. В дальнейшем понадобится другая форма записи необходимого и достаточного условия интегрируемости. Обозначая колебанием M i - mi функции f (x) на отрезке [xi - 1, xi] через ω i, имеем
Так как M i ≥ m i и Δ хi > 0, то каждое слагаемое в последней сумме неотрицательно, и условие существования определенного интеграла можно переписать так: для любого как угодно малого ε > 0 существует ε = δ (ε) > 0 такое, что при λ < δ.