12 билет(1)

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы..

Доказательство (условия совместности системы)

Достаточность

Пусть $operatorname{rank} A = operatorname{rank} B = r$ . Возьмем в матрице $A$ какой-нибудь базисный минор. Так как $operatorname{rank} B = r$ , то он же и будет базисным минором и матрицы $B$ . Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы $B$ будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы $A$ . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы $A$ .