пользователей: 30398
предметов: 12406
вопросов: 234839
Конспект-online
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

11 билет(6)


Докажем, что функция синус имеет производную в любой точке u

 

(sin x)’ = cos x.



Применяя формулу

 

разность синусов



находим

 

приращение синуса



Для вывода формулы достаточно показать, что:

 

формулы для доказательства синуса



при Δx→0.

Опираясь на эти утверждения, можно получить формулу (1). Действительно, при Δx→0

 

приращение синуса



Утверждения а) и б), на которые мы опирались выше, имеют наглядный геометрический смысл.

 

пояснительный рисунок



а) Отложим на единичной окружности от точки Р0 в обе стороны дуги Р0А и Р0В длиной |Δx|/2 (рис. сверху) Тогда длина дуги АВ равна |Δx|, а длина хорды AВ равна 2|sin (Δx/2)|. При малых |Δx| длина хорды АВ практически не отличается от длины стягиваемой ею дуги АВ. (Этим фактом вы уже пользовались в курсе геометрии при выводе формулы длины окружности. Действительно, при больших n верно, как известно, приближенное равенство Рn≈С, где Рn — периметр правильного вписанного n-угольника, а С — длина окружности. Значит, длина стороны такого многоугольника приближенно равна длине дуги, которую эта сторона стягивает.) Следовательно,

 

отноение длин строн



б) Заметим, что длина хорды АВ меньше длины дуги АВ, т. е.

 

длина хорды АВ меньше длины дуги АВ



Воспользовавшись формулой разности косинусов и этим неравенством, находим:

 

формула



Но |Δx|/2→0 при Δx→0. Поэтому

 

формула для косинуса



при Δx→0.


хиты: 142
рейтинг:0
Точные науки
математика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2024. All Rights Reserved. помощь