11 билет(1)

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы..

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа $x_1,dots,x_ninmathbb R$ такие, что $b=x_1 a_1+dots+x_n a_n$ . Следовательно, столбец $b$ является линейной комбинацией столбцов $a_1,dots,a_n$ матрицы $A$ . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что $operatorname{rang} A = operatorname{rang} B$ .