базисом линейного пространства называется линейно независимая система векторов, каждый вектор пространства можно представить как линейную комбинацию этих векторов и причем единственным образом.
Теорема. (О разложении вектора по базису.)
Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.
Доказательство. 1) Пусть L произвольная прямая (или ось) и 
– базис 
. Возьмем произвольный вектор 
. Так как оба вектора 
и 
коллинеарные одной и той же прямой L, то 
. Воспользуемся теоремой о коллинеарности двух векторов. Так как 
, то найдется (существует) такое число 
, что 
и тем самым мы получили разложение вектора по базису векторного пространства .
Теперь докажем единственность такого разложения. Допустим противное. Пусть имеется два разложения вектора по базису векторного пространства :
и 
, где 
. Тогда 
и используя закон дистрибутивности, получаем:
.
Так как , то из последнего равенства следует, что 
, ч.т.д.
