3 билет(5)

ЛЕММЫ О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИНАХ.

ЛЕММА №1: Для того чтобы переменная имела своим пределом постоянное число a, необходимо и достаточно выполнения равенства:

– бесконечно малая величина.

Результат следует из того, что разность есть расстояние от точки до её предела , это расстояние стремится к нулю, т. к. , и наоборот: если расстояние стремиться к нулю, то .

ЛЕММА №2: Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых, есть величина бесконечно малая.

Доказательство:

Рассмотрим, например, сумму 3-х бесконечно малых.

Возьмем любое E > 0, т. к. ,то по определению существует номер n такой, что будет выполняться три неравенства:

(по лемме №2 о вещественных числах).

Существует номер n, такой, что при n > N выполняется неравенство:

для , это и означает, что , Ч. Т. Д.

Опр. 2: Переменная называется ограниченной, если существуют такие m и M , что для всех выполняется неравенство:

ПРИМЕР:

1. sin(n) – ограниченное, т. к. |sin n| ≤ 1

2.

3. – не является ограниченным.

(О. П. – ограниченная переменная).

ЛЕММА №3:Произведение ограниченной переменной на бесконечно малую есть величина басконечно малая

Пусть

Требуется доказать, что:

Доказательство:

Пусть

Возьмем , т.к. – бесконечно малая, то существует номер N такой что при: ,

Тогда .

, при , следовательно, выполняется неравенства:

,

Это и означает, что: – бесконечно малая.