Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz.
Рассмотрим плоскость, которая удалена на расстояние p (
) единиц от начала координат в положительном направлении нормального вектора плоскости 
. Будем считать, что длина вектора равна единице. Тогда его координаты равны направляющим косинусам, то есть, 
, причем 
. Обозначим расстояние от точки до плоскости как 
, то есть, точка N лежит на плоскости и длина отрезка ON равна p. Для наглядности отметим все данные на чертеже.
Получим уравнение этой плоскости.
Возьмем точку трехмерного пространства 
. Тогда ее радиус вектор 
имеет координаты 
, то есть, 
(при необходимости смотрите раздел координаты радиус-вектора точки). Очевидно, что множество точек определяют описанную ранее плоскость тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора на направление вектора равна p, то есть, 
(смотрите рисунок ниже).
Тогда определение скалярного произведения векторов и дает нам следующее равенство 
. Это же скалярное произведение в координатной форме представляется как 
. Сопоставление двух последних равенств дает нам искомое уравнение плоскости 
. Перенесем p в левую часть, и мы получим уравнение 
, которое называется нормальным уравнением плоскости или уравнением плоскости в нормальном виде. Нормальное уравнение плоскости иногда называют нормированным уравнением плоскости.
