2 билет(1)

Минор k -го порядка матрицы – определитель матрицы, составленный из элементов данной матрицы, стоящих на пересечении произвольно выделенных ее k строк и k столбцов с сохранением их порядка, т.е. минор k-го порядка есть определитель квадратной матрицы размера k x k.

Алгебраическим дополнением элемента $a_{ij}$ матрицы $A$ называется число

$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ ,

где $M_{ij}$ — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы $A$ путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.

Дополнительный минор $bar M_{j_1 ldots j_k}^{i_1 ldots i_k}$ квадратной матрицы $A$ порядка $n$ ( $k leqslant n$ ) — определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием $i_1 ldots i_k$ строк и $j_1 ldots j_k$ столбцов.

Теорема.

Доказательство. По определению, детерминант матрицы A представляет собой сумму

(*)

по всем возможным перестановкам индексов, нумерующих столбцы.

Выберем произвольным образом некоторую строку, например, с номером i.
Один из элементов этой строки представлен в каждом произведении . Поэтому слагаемые суммы (*) можно перегруппировать, объединив в первую группу те, что содержат элемент a₁₁ в качестве общего множителя, во вторую группу – члены, содержащие элемент a₁₂ и т.д.
Другими словами, выражение (*) можно представить в виде линейной комбинации элементов a_{i j} (j = 1,2,…,n):

где

Покажем, что представляет собой алгебраическое дополнение элемента a_{i j}.
Перестановка преобразуется в перестановку посредством (i – 1) транспозиций элемента j с соседними элементами. В полученной перестановке элемент j образует (j – 1) инверсий с другими элементами.
Следовательно,

Однако сумма

представляет собой минор элемента a_{i j} .
Таким образом, и, следовательно, представляет собой алгебраическое дополнение элемента a_{i j}.

Поскольку , то тем самым доказана и Теорема о разложении определителя по элементам столбца.