Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества упорядоченного множества (или класса) , называется наименьший элемент , который равен или больше всех элементов множества . Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается .
Более формально:
— множество верхних граней , то есть элементов , равных или больших всех элементов
Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества упорядоченного множества (или класса) , называется наибольший элемент , который равен или меньше всех элементов множества . Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается .
Свойства
- По теореме о гранях для любого ограниченного сверху подмножества , существует .
- По теореме о гранях для любого ограниченного снизу подмножества , существует .
- Вещественное число является тогда и только тогда, когда
- есть верхняя грань то есть для всех элементов , .
- для любого найдётся , такой, что (то есть к можно сколь угодно «близко подобраться» из множества )
- Аналогичное утверждение верно для точной нижней грани.