Если линейная комбинация 
может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел 
есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов 
называется линейно зависимой.
Если к линейно зависимой системе векторов добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.
Доказательство.
Так как система векторов линейно зависима, то равенство 
возможно при наличии хотя бы одного ненулевого числа из чисел . Пусть 
.
Добавим к исходной системе векторов еще s векторов 
, при этом получим систему 
. Так как и 
, то линейная комбинация векторов этой системы вида
представляет собой нулевой вектор, а . Следовательно, полученная система векторов является линейно зависимой.
Если в системе векторов есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.
Доказательство.
Пусть вектор 
в этой системе векторов является нулевым. Предположим, что исходная система векторов линейно независима. Тогда векторное равенство возможно только тогда, когда 
. Однако, если взять любое 
, отличное от нуля, то равенство все равно будет справедливо, так как 
. Следовательно, наше предположение неверно, и исходная система векторов линейно зависима.
