рис. 1 |
Обозначение вектора
Вектор началом которого есть точка А, а концом - точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a.
Длина вектора
Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.
Нулевой вектор
Нулевой вектор обычно обозначается как 0.
Длина нулевого вектора равна нулю.
Коллинеарные вектора
рис. 2 |
Сонаправленные вектора
рис. 3 |
Противоположно направленные вектора
рис. 4 |
Компланарные вектора
рис. 5 |
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по-этому любые два вектора всегда компланарные.
Равные вектора
рис. 6 |
То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:
a = b, если a↑↑b и |a| = |b|.
Единичный вектор
Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.
Сложение векторов. Пусть и – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ; затем от точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается (рис. 1).
Рис. 1
Ту же сумму можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы и . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОАСВ. Вектор – диагональ параллелограмма – является суммой векторов и (рис. 2).
Рис. 2
Понятие суммы можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых (рис. 3).
Рис. 3
Вычитание векторов. Разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор : Û .
Если векторы и привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (рис. 4).
Рис. 4
Таким образом, если на векторах и , отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор , совпадающий с одной диагональю, равен сумме , а вектор , совпадающий с другой диагональю, – разности (рис. 5).
Рис. 5
Умножение вектора на число. Произведением вектора на действительное число называется вектор (обозначают ), определяемый следующими условиями:
1) ,
2) при и при .
Очевидно, что при .
Построим, например, векторы и для заданного вектора (рис. 6).
Рис. 6
Из определения следует: два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство :
(2.1)
Свойства линейных операций:
1) ;
2) ;
3) ; ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ; ;
Пусть дан вектор . Ортом вектора (обозначается ) называется вектор единичной длины, сонаправленный с вектором .
Очевидно, для любого вектора .